奇异矩阵束
  B. Kågström

至少在理论上，标准特征值问题Ax = \lambda x与前几节讨论的广义特征值问题Ax = \lambda Bx之间的一个区别是，每当B是奇异矩阵时，会出现无穷特征值。解决稠密广义特征值问题的标准方法是QZ算法；参见第8.2节。然而，故事不止于此。例如，如果A和B具有共同的零空间，那么广义特征值问题在病态的意义上是不适定的，即任意小的扰动可能完全改变特征值。通常，QZ算法无法可靠地处理这类问题。有必要通过允许有限精度下的范围或零空间分离的降阶准则来应用正则化技术，从而计算附近问题的特征值。通常，正则化附近问题与原始问题的距离与所用的降阶容差的大小成正比。

在本节中，我们将介绍解决最一般的Ax = \lambda Bx问题的理论、算法和软件，包括A和B为矩形矩阵的情况。该软件计算矩阵对\{A,B\}的Schur标准形式的推广，称为GUPTRI（广义上三角）形式[121,122]：

P^*(A-\lambda B)Q = \begin{pmatrix}A_{r} - \lambda B_{r} & * & * \\ 0 & A_{reg} - \lambda B_{reg} & * \\ 0 & 0 & A_{l} - \lambda B_{l} \end{pmatrix}, \tag{8.28}

具有以下特性：它分离了问题的正则部分和奇异部分。 A_{reg} - \lambda B_{reg}是正则部分，包含所有特征值。块A_r - \lambda B_r和A_l - \lambda B_l（参见8.28）对应于奇异部分，并具有特殊的块结构。这里*表示任意符合的子矩阵。

在我们对GUPTRI形式进行完整描述并介绍计算它的算法和软件之前，我们需要引入一些与奇异问题相关的新符号和定义。其中一些内容按定义相当技术性和全面。为了简化表述，我们还提供了几个例子，说明奇异和近奇异特征问题的性质、处理这些问题的困难以及如何克服这些困难。