直接法

QZ算法 是计算广义非对称厄米特征值问题(GNHEP)(8.1)的首选方法。 该算法是针对广义特征值问题的QR算法(参见第7.3节)的类似方法。 它遵循QR算法所述的模式：

1. 首先通过酉等价变换同时将A和B化为压缩形式。 更具体地说，A被化为上海森堡形式，而B被化为上三角形式(舒尔形式)。 关键在于现在要将A也化为上舒尔形式，同时保持B为该形式。 这一步在下一步中完成。
2. 通过矩阵对A和B上的酉等价变换Q和Z，模拟一次带位移的QR步对AB^{-1}的影响(不形成该矩阵乘积)；这是QZ迭代的核心。 如果迭代应用，它将A化为三角或准三角形式(即对角线上有2乘2块，以避免复数运算)，同时保持B的三角结构。 收敛时，我们得到A和B的广义舒尔形式(参见第2.6节)；即，我们计算出正交的Q和Z，使得QAZ和QBZ为上三角。
3. 可以从三角形式的对角线计算特征值。 特征向量可以作为三角问题的特征向量计算，然后通过Z变换回原问题的特征向量。

这一简要概述必然遗留了许多重要问题未予讨论。 欲了解更多细节，读者应查阅文献：QZ算法的原始论文是莫勒和斯图尔特[328]；QZ算法也在例如戈卢布和范洛恩[198]或戴米尔[114]的教科书中有所描述。

QZ算法可求得所有特征值，并可选地求得右和左特征向量。 它需要O(n^3)次浮点运算和O(n^2)个内存位置，其中n是A和B的阶数。 更具体地说，仅计算特征值需要约30 n^3次浮点运算。 如果需要右特征向量，则还需额外16n^3次运算，左特征向量亦然。 这些工作量的估计基于经验，即每个特征值约需两次QZ迭代(QZ的收敛性质与QR大致相同)。

大多数与线性代数相关的软件包都包含了实现QZ算法的子程序。 在MATLAB中，它被用作eig(A,B)命令。^[1]在LAPACK[12]中，以下驱动程序可用于执行各种任务：

xGGES：计算广义特征值、广义舒尔形式，并可选地计算左和/或右舒尔向量矩阵。

xGGESX：xGGES加上特征值和降阶子空间的条件估计。

xGGEV：广义特征值，并可选地计算左和/或右广义特征向量。

xGGEVX：xGGEV加上特征值和特征向量的条件估计。

字母{\tt x}代表实单或双精度数据类型的S或D，或复单或双精度数据类型的C或Z。

1. 据悉，基于LAPACK的数值计算库将成为MATLAB下一次重大发布的一部分；详情请参阅《MATLAB、Simulink及工具箱用户通讯》2000年冬季刊，网址为http://www.mathworks.com/company/newsletter/clevescorner/winter2000.cleve.shtml。