广义Schur阶梯形式

通常情况下，我们无法保证对一个矩阵束进行KCF（Kronecker Canonical Form，克罗内克标准型）的稳定计算，因为将A - \lambda B变换为KCF的变换矩阵可能是任意病态的。然而，我们可以仅通过酉变换来计算Kronecker结构（或其部分）。为此，我们需要付出代价，得到一种更密集的标准型，称为广义Schur阶梯形式。这种形式是块上三角的，其对角块呈阶梯状（也是块上三角），揭示了KCF的精细结构元素。

在大多数应用中，将A - \lambda B简化为广义Schur阶梯形式就足够了，例如，简化为GUPTRI形式[121,122]：

P^ (A- B) Q = \begin{bmatrix} A_r - B_r & * & * \\ 0 & A_{reg} - B_{reg} & * \\ 0 & 0 & A_l - B_l , \end{bmatrix}, \tag{8.34}

其中P ( m \times m ) 和 Q (n \times n) 是酉矩阵。这里的方形上三角块 A_{reg} - \lambda B_{reg}是正则的，并且具有与A - \lambda B相同的正则结构（即包含A - \lambda B的所有有限和无限特征值）。矩形块A_r - \lambda B_r在其KCF中仅包含右最小指标，实际上与A - \lambda B具有相同的L_j块。类似地，A_l - \lambda B_l在其KCF中仅包含左最小指标，与A - \lambda B具有相同的L_j^T块。如果A - \lambda B是奇异的，至少A_r - \lambda B_r和A_l - \lambda B_l中的一个会出现在(8.34)中。如果A - \lambda B是正则的，A_r - \lambda B_r和A_l - \lambda B_l不会出现在(8.34)中，GUPTRI形式简化为 A_{reg} - \lambda B_{reg}。揭示零特征值和无穷特征值的Jordan结构的阶梯形式包含在 A_{reg} - \lambda B_{reg}中：

A_{reg} = \begin{bmatrix} A_z & * & * \\ 0 & A_f & * \\ 0 & 0 & A_i , \end{bmatrix} \quad \text{and} \quad B_{reg} = \begin{bmatrix} B_z & * & * \\ 0 & B_f & * \\ 0 & 0 & B_i . \end{bmatrix}. \tag{8.35}

总之，A - \lambda B的GUPTRI形式的对角块描述了Kronecker结构如下： iAAAAAAA A_r - \lambda B_r包含所有右奇异结构（右最小指标）。
A_z - \lambda B_z包含零特征值的所有Jordan结构。
A_f - \lambda B_f包含所有有限非零特征值。
A_i - \lambda B_i包含无穷特征值的所有Jordan结构。
A_l - \lambda B_l包含所有左奇异结构（左最小指标）。 下一节将详细介绍阶梯形式中对角块的具体结构。A - \lambda B的非零有限特征值（如果有）位于块A_f - \lambda B_f中，但它们的乘数或Jordan结构未明确计算。然而，可以通过计算移位矩阵束(A_f - {\lambda}_iB_f) - \lambda B_f的RZ（右零）阶梯形式（参见§8.7.6）来提取A - \lambda B的有限非零特征值的Jordan结构，该矩阵束具有乘数\geq 1的零特征值。

给定A - \lambda B的GUPTRI形式，我们还知道不同的约化子空间[451,121]。假设 A_{reg} - \lambda B_{reg}的对角特征值被排序，使得前k个特征值位于\Lambda_1（频谱的一个子集）中，其余特征值在\Lambda_1之外。那么GUPTRI形式也可以表示为

(A - \lambda B) Q = P \begin{bmatrix} A_{11} - \lambda B_{11} & A_{12} - \lambda B_{12} \\ 0 & A_{22} - \lambda B_{22} \end{bmatrix}, \tag{8.36}

其中A_{11} - \lambda B_{11}包含A_r - \lambda B_r和对应于\Lambda_1的正则部分，而A_{22} - \lambda B_{22}包含剩余的正则部分和A_l - \lambda B_l。如果A_r - \lambda B_r是m_r \times n_r，那么对应于\Lambda_1的左和右约化子空间分别由P（记为P_1）的前m_r + k列和Q（记为Q_1）的前n_r + k列张成，使得

(A - \lambda B) Q_1 = P_1(A_{11} - \lambda B_{11}).

当\Lambda_1为空时，相应的约化子空间称为最小，当\Lambda_1包含整个频谱时，约化子空间称为最大。最小和最大约化子空间的计算出现在多个应用中，例如计算广义线性系统的可控和可观子空间，这些在控制理论中代表不适定问题[447,120]。