更多关于GUPTRI及数值示例

典型用户会调用四个例程，即GUPTRI、REORDR、BOUND和EVALBD。以下我们将简要描述这些例程的功能。我们相信，了解奇异或接近奇异问题以及GUPTRI形式的最佳方式是从使用GUPTRI例程的MATLAB接口开始（参见第页）。

GUPTRI：

将$A - \lambda B$通过酉等价变换转化为GUPTRI形式（参见公式8.34至8.35）。$A_{reg} - \lambda B_{reg}$的有限非零特征值（对角元素）可以按任意顺序出现。除了$\{A,B\}$外，用户还需提供三个输入参数（EPSU、GAP和ZERO），用于控制GUPTRI形式的计算。这三个参数也是MATLAB函数的参数（参见第页）。

REORDR：

从计算得到的GUPTRI分解中，可以直接生成与$\lambda(A, B)$的任意部分相关的约化子空间对。用户需调用REORDR例程，并提供一个整数函数FTEST(ALPHA, BETA)，描述要计算的约化子空间的谱，作为输入参数（参见[122]中的第6节示例）。

假设$A - \lambda B$的指定正则部分为上三角形式，则使用Givens旋转对$1 \times 1$对角块（广义特征值）进行重排序，这些旋转累积在先前的变换矩阵$P$和$Q$中。重排序后，由函数FTEST指定的特征值出现在$A_{11} - \lambda B_{11}$（参见公式8.36），即$A - \lambda B$指定正则部分的左上角，对应的约化子空间对可从$P$和$Q$的前导列轻松读取。

BOUND和EVALBD：

约化子空间和广义特征值的误差界在[119,122]中提出。我们通过示例说明了特征值和约化子空间是病态的，这意味着必须对$A$和$B$的可容许扰动$\delta A$和$\delta B$施加额外条件。BOUND和EVALBD计算约化子空间对的误差界，以及正则部分选定特征值的误差界。对于约化子空间误差界，要求$(A + \delta A) - \lambda (B + \delta B)$具有与$A - \lambda B$相同维数的约化子空间。对于特征值界，还要求$(A + \delta A) - \lambda (B + \delta B)$在其选定正则部分具有相同数量的特征值。这两个条件都由软件自动验证。

基于输入参数，BOUND决定适用的扰动定理，并计算特征值和约化子空间误差界所需的量。EVALBD接收BOUND的输出，并根据给定的输入${\tt DELTA} = {\Vert(\delta A , \delta B) \Vert _E}$，评估适当定理的约化子空间界。

• 计算GUPTRI形式的稳健性和误差界
• 算术和空间复杂度
• GUPTRI的MATLAB接口
• MATLAB中的示例