通用与非通用Kronecker结构

尽管在一般情况下，KCF（Kronecker Canonical Form，Kronecker规范形式）看起来相当复杂，但大多数矩阵束具有更简单的Kronecker结构。如果A - \lambda B是m \times n，其中m \neq n，那么对于几乎所有的A和B，它将具有相同的KCF，仅取决于m和n。这对应于通用情况，即当A - \lambda B对于任何复数（或实数）的\lambda都具有满秩时。因此，通用的矩形束没有规则部分。对于A - \lambda B且d = n - m > 0的通用Kronecker结构是

\mathrm{diag}(L_l, \ldots, L_l, L_{l+1}, \ldots, L_{l+1}), \tag{8.32}

其中\ell = \lfloor m/d \rfloor，块的总数是d，L_{\ell + 1}块的数量是m \mod d（当d整除m时为0）[446,116]。对于d = m - n > 0的情况，如果我们将(8.31)中的L_{\ell}, L_{\ell + 1}替换为L_{\ell}^T,L_{\ell + 1}^T，同样的陈述也成立。例如，一个2 \times 3的通用束具有一个L_2块作为其KCF。

方阵束通常是规则的；即，{\rm det}(A - \lambda B) = 0当且仅当\lambda是特征值。此外，最通用的规则束是可对角化的，具有不同的有限特征值。n \times n的通用奇异束具有Kronecker结构[456]：

\mathrm{diag}(L_j, \ldots, L^T_{n-j-1}), \; j = 0,\dots,n-1 \tag{8.33}

只有当奇异的A - \lambda B在某些\lambda下秩不足时，相关的KCF可能更复杂，并可能包含规则部分以及左右奇异块。这种情况对应于非通用（或退化）情况，从计算角度来看，这是一个真正的挑战。退化的矩形束在控制理论中有几个应用，例如，用于计算线性描述系统的可控子空间和不可控模式[447,120]。