克罗内克标准形

正如约旦标准形(JCF)详细描述了方阵A的不变子空间和特征值一样，存在一种克罗内克标准形(KCF)，它详细描述了矩阵束A - \lambda B的广义特征值和广义特征空间。除了对应有限和无限特征值的约旦块外，克罗内克形式还包含与奇异矩阵束的最小指标相对应的奇异块（见下文）。

A - \lambda B的KCF展示了精细结构元素，包括初等因子（约旦块）和最小指标（奇异块），其定义如下[187]。假设A, B \in {\mathcal C}^{m \times n}。那么存在非奇异矩阵P \in {\mathcal C}^{m \times m}和Q \in {\mathcal C}^{n \times n}使得 P^{-1}(A - B)Q = \tilde{A} - \tilde{B} = \text{diag}(A_1 - B_1, \ldots, A_b - B_b)， 其中A_i - \lambda B_i是m_i \times n_i的矩阵。我们可以将P和Q的列划分为对应于\tilde{A} - \lambda \tilde{B}的b个对角块的块：

P = [P_1, \ldots, P_b] \quad \text{和} \quad Q = [Q_1, \ldots, Q_b],

其中P_i是m \times m_i的矩阵，Q_i是n \times n_i的矩阵，使得

(A - \lambda B)Q_i = P_i(A_i - \lambda B_i).

每个块M_i \equiv A_i - \lambda B_i必须是以下形式之一：

J_j(\alpha), \quad N_j, \quad L_j, \quad \text{或} \quad L_j^T.

首先我们考虑 J_j(\alpha) = \begin{bmatrix} \alpha & 1 & & \\ & \alpha & \ddots & \\ & & \ddots & 1 \\ & & & \alpha \end{bmatrix} 和 N_j = \begin{bmatrix} 1 & & & \\ & \ddots & & \\ & & \ddots & \\ & & & 1 \end{bmatrix}. J_j(\alpha)是一个简单的j \times j约旦块，\alpha被称为有限特征值。约旦块J_j(\alpha)是一个循环变换。其范围由第j个单位向量e_j生成——克雷洛夫序列的向量

\{e_j, J_j(\alpha)e_j, J_j(\alpha)^2e_j, \ldots, J_j(\alpha)^{j-1}e_j\}

张成范围。从变换的循环性我们得到向量链关系

(J_j(\alpha) - (\alpha - \lambda)I)e_{k+1} = e_k \quad \text{对于} \quad 1 \leq k \leq j-1.

向量e_{k+1}被称为等级为k+1的主向量。顺序j通常被称为链的高度。特征向量是等级为1的主向量。

N_j是一个j \times j块，对应于多重性为j的无限特征值：

N_j = \begin{bmatrix} 1 & & & \\ & \ddots & & \\ & & \ddots & \\ & & & 1 \end{bmatrix}.

通过交换N_j的A部分和B部分，我们得到一个J_j(0)块。因此，如果\{A, B\}的KCF中有一个N_j块，那么\{B, A\}的KCF中有一个J_j(0)块，反之亦然。这一事实在计算矩阵束标准结构的算法中得到利用。

J_j(\alpha)和N_j块共同构成了矩阵束的规则结构。所有A_i - \lambda B_i都是规则块当且仅当A - \lambda B是一个规则矩阵束。\lambda(A, B)表示A - \lambda B的规则部分的特征值（按多重性计），被称为A - \lambda B的谱。

另外两种对角块类型是

L_j = \begin{bmatrix} -\lambda & 1 & & \\ & -\lambda & \ddots & \\ & & \ddots & 1 \\ & & & -\lambda \end{bmatrix} \quad\text{和}\quad L_j^T = \begin{bmatrix} -\lambda & & \\ 1 & -\lambda & \\ & \ddots & -\lambda \\ & & 1 \end{bmatrix}.\tag{8.31}

j \times (j+1)块L_j被称为右（或列）最小指标j的奇异块。它有一个一维的右零空间， [1, \lambda, \ldots, \lambda^j]^T，对于任何\lambda，即

\begin{bmatrix} - \lambda & 1 & & & \\ & - \lambda & 1 & & \\ & & \ddots & \ddots & \\ & & & - \lambda & 1 \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \lambda^j \\ \vdots \\ 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ \vdots \\ 0 \end{bmatrix}.

类似地，(j+1) \times j块L_j^T是一个左（或行）最小指标j的奇异块，并且对于任何\lambda有一个一维的左零空间。左和右奇异块共同构成了矩阵束的奇异结构，并且仅当矩阵束是奇异的时出现在KCF中。规则和奇异结构定义了奇异矩阵束的克罗内克结构。

我们通过简要指出KCF的结构信息与GUPTRI形式（8.28）之间的关系来结束这一介绍性描述。块A_r - \lambda B_r包含所有关于右奇异块的信息，而A_l - \lambda B_l包含所有关于左奇异块的信息。规则部分对应于A_{reg} - \lambda B_{reg}。