正则问题与奇异问题

让我们从考虑一个 2 \times 2 的广义特征值问题开始： Ax = \lambda Bx，其中

A = \begin{bmatrix}\alpha_1 & 0 \\0 & \alpha_2\end{bmatrix}, \quad B = \begin{bmatrix}\beta_1 & 0 \\0 & \beta_2 \end{bmatrix}.

A - \lambda B 的特征值是 (\alpha_1, \beta_1) 和 (\alpha_2, \beta_2) 这两对值，对应的特征向量分别是 x_1 = [1 \quad 0]^T 和 x_2 = [0 \quad 1]^T。 如果 \beta_i 不为零，那么 \lambda_i = \alpha_i/\beta_i 是一个有限特征值。 否则，如果 \beta_i 为零，那么 \lambda_i = \infty 是矩阵对 \{A,B\} 的一个特征值。 但假如 \alpha_2 = \beta_2 = 0 会怎样呢？ 这时，{\rm det}(A - \lambda B) 对所有 \lambda 都为零，这意味着我们面临一个奇异特征值问题。 在这种情况下，Ax_2 = Bx_2 = 0，即 A 和 B 有一个共同的零空间。我们称 x_2 是具有不确定特征值 0/0 的特征向量。 需要注意的是，共同的零空间是产生奇异特征值问题的充分条件，但非必要条件。

最常见的广义特征值问题 Ax = \lambda Bx 是正则的；即，A 和 B 是方阵，并且特征多项式 p_m(\lambda) = {\rm det}(A - \lambda B) 仅在有限个值处消失，其中 m 表示多项式的次数。 相应的 A - \lambda B 被称为正则矩阵束。 正则束的 n 个特征值是扩展复平面 {\mathcal C} \cup \infty 上的点。 特征值 \lambda_i 定义为 p_m(\lambda) 的零点，以及 n - m 个额外的 \infty 特征值。

矩阵束的另一种表示形式是叉积形式：即矩阵集合 \beta A-\alpha B，其中 (\alpha,\beta) \in {\mathcal C}^2。 映射 (\alpha,\beta) \mapsto \alpha/\beta 展示了 \beta A-\alpha B 和 A - \lambda B 的特征值之间的关系。 例如，零和无穷特征值分别表示为 (0, \beta) 和 (\alpha, 0)，并且可以像 {\mathcal C}^2 中的其他点一样处理。

如果 {\rm det}(A - \lambda B)（以及 {\rm det}(\beta A - \alpha B)）对所有 \lambda（以及所有 (\alpha, \beta) 对）恒为零，那么 A - \lambda B 被称为奇异，并且 \{A,B\} 是一个奇异矩阵对。 \{A,B\} 的奇异性可以通过某些 \alpha = \beta = 0 来标识。 在存在舍入误差的情况下，\alpha 和 \beta 可能非常小。 在这些情况下，特征值问题是病态的，并且计算出的某些其他非零 \alpha 和 \beta 值可能是不确定的。 这类问题在第 §8.7.4 节中有进一步的讨论和实例说明。 此外，矩形矩阵对是奇异的，相应的 A - \lambda B 是奇异矩阵束。