带状Lanczos方法
  R. Freund

在第7.8节中介绍的标准非厄米Lanczos算法使用由矩阵A和一对单右左初始向量b和c生成的Krylov子空间，来产生非厄米特征值问题的近似解，

Ax = \lambda x. \tag{7.58}

这里，A是一个一般非厄米的方阵。

在某些情况下，使用右左初始向量块，而不是一对单初始向量，更为可取。 一个例子是具有多重或紧密聚类特征值的矩阵的特征值计算。 另一个重要应用是线性动力系统的降阶建模。 在这里，右左初始向量块作为问题的一部分给出，详见第7.10.4节。 最后，在计算矩阵-矩阵乘积AV和A^T W时，其中V和W是向量块，如果比逐次计算矩阵-向量乘积Av和A^T w更便宜，使用初始向量块也是有利的。 关于等大小块的块Lanczos方法，已在第7.9节中讨论。

本节描述非厄米带状Lanczos方法，该方法将标准非厄米Lanczos算法从单初始向量扩展到m个右和p个左初始向量块，

b_1,b_2,\ldots,b_m\quad \mathrm{和}\quad c_1,c_2,\ldots,c_p. \tag{7.59}

矩阵A和向量(7.59)可以是实数或复数。 然而，即使它们是复数，我们也将算法表述为A和A^T，而不是A和A^{H}，因为这样可以避免算法中递推关系中不必要的复共轭。 我们强调这两种表述是等价的。

矩阵A和初始向量(7.59)生成了右块Krylov序列

b_1,b_2,\ldots,b_m,A b_1, A b_2, \ldots, A b_m,\ldots,A^{k-1} b_1, \ldots, A^{k-1} b_m, \ldots, \tag{7.60}

和左块Krylov序列

c_1,c_2,\ldots,c_p,A^T c_1, A^T c_2, \ldots, A^T c_p,\ldots,(A^T)^{k-1} c_1, \ldots, (A^T)^{k-1} c_p, \ldots. \tag{7.61}

带状Lanczos算法的目标是构建合适的右左Lanczos向量，

v_1,v_2,\ldots,v_j \quad \mathrm{和}\quad w_1,w_2,\ldots,w_j, \tag{7.62}

它们分别为块Krylov序列(7.60)和(7.61)的前j个线性独立向量所张成的子空间构建基。

本节讨论的非厄米带状Lanczos方法也可以看作是将第4.6节中描述的厄米带状Lanczos方法扩展到一般的非厄米方阵。 对于右左初始向量块大小相同的特殊情况，即m=p，带状Lanczos方法也与第7.9节中描述的块Lanczos方法相关。 然而，带状Lanczos方法更一般，因为它可以处理任意块大小m,\, p\geq 1的情况。 即使在特殊情况m=p下，带状方法相对于块Lanczos方法也有优势；详见第7.10.5节。