变体

将基于单一起始向量的Krylov子空间技术扩展到多起始向量的传统方法，是设计Krylov子空间算法的块版本。非厄米Lanczos过程的块版本首先在[260,261]中提出。然而，这个块Lanczos算法假设右和左起始块具有相同的大小，即m=p，并且它没有缩减或前瞻功能。显然，任何非厄米Lanczos过程的块版本都要求所有右和左块具有相同的大小。特别是，任何块版本都局限于m=p的特殊情况，并且当可能的缩减在右和左块Krylov序列中同时发生时，使得m_c=p_c贯穿整个算法。

然而，本节描述的非厄米带状Lanczos算法不受这些限制的影响。特别是，它可以用于任意大小的起始块m,\, p\geq 1，并且它允许在右和左块Krylov序列中独立发生的缩减。

算法7.16中陈述的带状Lanczos方法的版本首次以这种形式出现在[175]中。另一种略有不同的版本，还包括一种前瞻程序来修复可能的崩溃，在[5]中描述。

算法7.16中陈述的带状Lanczos方法版本执行所有与A和A^T的乘法作为单个向量的矩阵-向量乘积。然而，在算法的任何阶段，也可以预计算下一个m_c个矩阵-向量乘积与A，这将在接下来的m_c次迭代中需要，作为一个单独的矩阵-矩阵乘积AV，其中V是一个包含m_c个向量的块。实际上，不是执行算法7.16中的步骤(9)，而是计算矩阵-矩阵乘积

A \left[ \begin{array}{ccccc}v_j & \hat{v}_{j+1} & \hat{v}_{j+2} &\cdots & \hat{v}_{j+m_c-1}\end{array} \right].

这为我们提供了向量\hat{v}_{j+m_c} = A v_j，它在迭代j的剩余步骤中使用，以及向量

A \hat{v}_{j+1}, A \hat{v}_{j+2}, \ldots, A \hat{v}_{j+m_c-1}.\tag{7.86}

在接下来的m_c-1次迭代中，我们将需要向量

A v_{j+1}, A v_{j+2}, \ldots, A v_{j+m_c^{\prime}-1}.\tag{7.87}

这里，m_c^{\prime}定义为m_c减去在这些接下来的m_c-1次迭代中将发生的\hat{v}_k向量的缩减次数。使用§4.6.4中概述的过程，可以很容易地获得向量(7.87)作为预计算向量(7.86)的适当线性组合。类似地，在算法的任何阶段，也可以预计算下一个p_c个矩阵-向量乘积与A^T，这将在接下来的p_c次迭代中需要，作为一个单独的矩阵-矩阵乘积A^T W，其中W是一个包含p_c个向量的块。实际上，不是执行算法7.16中的步骤(11)，而是计算矩阵-矩阵乘积

A^T \left[ \begin{array}{ccccc}w_j & \hat{w}_{j+1} & \hat{w}_{j+2} &\cdots & \hat{w}_{j+p_c-1}\end{array} \right]

然后以类似于向量(7.86)的方式进行。