变种

针对厄米矩阵的带状Lanczos方法最初在[375]中提出。然而，这里描述的厄米带状Lanczos算法4.12有所不同，它同时使用了前j个Lanczos向量（4.28）和候选向量（4.30）来生成接下来的p_c个Lanczos向量。这使得我们只需构建j \times j矩阵T_j^{\rm {(pr)}}。而[375]中的算法则构造了前j+p_c个Lanczos向量，因此需要构建一个稍大的(j+p_c) \times j矩阵，而非T_j^{\rm {(pr)}}。这里描述的带状Lanczos方法版本最初在[177]中作为一般非对称带状Lanczos方法（在[166]中提出）的一个特例被推导出来。

如算法4.12所述的带状Lanczos方法版本，在进行所有与A的乘法运算时，都是以矩阵-向量乘积的形式进行，且每次只涉及单一向量。然而，在算法的任何阶段，也可以预先计算接下来p_c次迭代所需的p_c个矩阵-向量乘积，这可以通过一次矩阵-矩阵乘积AV来实现，其中V是一个包含p_c个向量的块矩阵。具体步骤如下：我们不执行算法4.12中的步骤(7)，而是计算矩阵-矩阵乘积：

A \left[ \begin{array}{ccccc}v_j & \hat{v}_{j+1} & \hat{v}_{j+2} & \cdots & \hat{v}_{j+p_c-1}\end{array} \right].

这样我们得到了向量\hat{v}_{j+p_c} = A v_j，它用于迭代j的剩余步骤，以及向量：

A \hat{v}_{j+1}, A \hat{v}_{j+2}, \ldots, A \hat{v}_{j+p_c-1}. \tag{4.43}

在接下来的p_c-1次迭代中，我们将需要这些向量：

A v_{j+1}, A v_{j+2}, \ldots, A v_{j+p_c^{\prime}-1}. \tag{4.44}

这里，p_c^{\prime}定义为p_c减去在这接下来的p_c-1次迭代中将发生的缩减次数。特别地，如果没有任何缩减发生，则p_c^{\prime}=p_c。我们所需的矩阵-向量乘积（4.44）与我们之前计算的（4.43）并不完全相同。然而，向量（4.43）和（4.44）通过以下关系相连：

\begin{aligned} &\begin{bmatrix}A\hat{v}_{j+1} & A\hat{v}_{j+2} & \cdots & A\hat{v}_{j+p_c-1}\end{bmatrix} \\ = &\begin{bmatrix}A v_{j+1} & A v_{j+2} & \cdots & A v_{j+p_c^{\prime}-1}\end{bmatrix} T_{j+1:j+p_c^{\prime}-1,j-p_c+1:j-1}. \tag{4.45} \end{aligned}

这里，T_{j+1:j+p_c^{\prime}-1,j-p_c+1:j-1}是T_{j+p_c^{\prime}-1}的子矩阵，包含行j+1,\ldots,j+p_c^{\prime}-1和列j-p_c+1,\ldots,j-1的元素。如果p_c^{\prime} \lt p_c ，（4.45）中的一些\hat{v}_k会导致缩减向量。设\hat{v}_{j_1}, \hat{v}_{j_2},\ldots, \hat{v}_{j_{p_c^{\prime}-1}}为未缩减的向量。进一步，设\tilde{T}是从T_{j+1:j+p_c^{\prime}-1,j-p_c+1:j-1}中删除对应于（4.45）中缩减向量的列得到的矩阵。根据（4.45），我们有：

\begin{bmatrix}A\hat{v}_{1} & A\hat{v}_{2} & \cdots & A\hat{v}_{j_{p'_c-1}}\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}A v_{j+1} & A v_{j+2} & \cdots & A v_{j+p'_c-1}\end{bmatrix}\tilde{T}. \tag{4.46}

矩阵\tilde{T}是非奇异的且为上三角矩阵。因此，利用（4.46），我们可以通过预计算向量（4.43）的适当线性组合来获得（4.44）中的每个向量A v_{j+k}，k=1,2,\ldots,p_c^{\prime}-1。

对于厄米正定矩阵A，还有一种基于耦合递归的算法4.12的变种在[35]中被提出。这一变种的动机是观察到对于病态的厄米正定矩阵A，从Lanczos矩阵T_j^{\rm {(pr)}}得到的最小特征值可能会变为负值；参见[34,35]中的例子。在精确算术中，这是不可能的，因为A的正定性意味着T_j^{\rm {(pr)}}=V_j^{\ast} A V_j也是正定的。然而，在有限精度算术中，舍入误差可能导致算法4.12生成的矩阵T_j^{\rm {(pr)}}略微非定。这可以通过使用耦合递归来生成T_j^{\rm {(pr)}}的Cholesky因子而不是T_j^{\rm {(pr)}}本身来轻松避免。更确切地说，（4.32）中总结的递归被替换为以下形式的耦合递归：

\begin{aligned} AP_j &= V_jL_jD_j + \begin{bmatrix}0 & \cdots & 0 & \hat{v}_{j+1} & \hat{v}_{j+2} & \cdots & \hat{j+p_c}\end{bmatrix} + \hat{V}_j^\text{(dl)} \\ V_j&=P_jU_j, \\ \end{aligned}

这里，P_j是另一个基矩阵，其列跨越与V_j相同的子空间，并且被构造为A-正交的：

P_j^{\ast} A P_j = D_j,

其中D_j是一个正定对角矩阵。此外，在（4.47）中，矩阵L_j是单位下三角的，矩阵U_j是单位上三角的。经过j次迭代后，A的近似特征对通过计算厄米正定矩阵的特征解得到：

V_j^{\ast} A V_j = U_j^{\ast} D_j U_j,

这是以D_j和U_j表示的。

最后，我们注意到块Lanczos方法是扩展单一起始向量的标准Lanczos算法到多起始向量的更传统方法。当块Lanczos方法与缩减（如[89]中所述）结合时，所得到的算法在数学上等价于这里描述的带状Lanczos方法。然而，带状Lanczos方法相对于块Lanczos方法有两个明显的优势。首先，缩减非常简单，因为它只需要检查单个向量的范数。相比之下，在块Lanczos方法中，需要检查整个p_c向量块是否满秩，如果不是，则需要找到线性相关的列。通常，这需要计算每个块的QR分解。其次，带状Lanczos方法实际上执行的显式正交化次数略少，从而生成的Lanczos矩阵T_j^{\rm {(pr)}}比块Lanczos方法产生的矩阵略稀疏。