带状Lanczos方法
  R. Freund

标准的厄米Lanczos算法利用由矩阵A和一个初始向量b生成的Krylov子空间来近似求解厄米特征值问题Ax = \lambda x。然而，在某些情况下，使用一组p个初始向量而非单一初始向量更为可取。例如，对于具有多个或紧密聚集特征值的矩阵，为了获得对应于这p个特征值的特征空间的基向量，需要使用由A和一组p个初始向量生成的块Krylov子空间。

一个重要的应用场景是m输入p输出的线性动态系统的降阶建模，其中多个初始向量作为问题的一部分给出；详见§7.10.4节。尽管这类应用通常涉及非厄米方阵A、具有m列的矩形“输入”矩阵B和具有p列的矩形“输出”矩阵C，但当A为厄米矩阵且输入和输出矩阵B与C相同时，具有特殊重要性。例如，这种情况在VLSI电路互连建模的背景下出现；参见例如[176]。对于这种特殊情况，需要将厄米Lanczos算法扩展到多个初始向量，即B=C的p列。

最后，当计算矩阵-矩阵乘积AV（其中V是具有p列的矩阵）比依次计算p个向量的矩阵-向量乘积Av更经济时，利用块Krylov子空间也是有益的。基于块Krylov子空间的Lanczos方法允许将所有必要的A乘法计算为块大小为p的矩阵-矩阵乘积AV，而在标准厄米Lanczos算法中，A的乘法必须计算为一连串的矩阵-向量乘积Av。

在本节中，我们描述了一种用于厄米特征值问题的带状Lanczos方法，

A x = \lambda x, \tag{4.25}

该方法基于由矩阵A和一组p个初始向量生成的块Krylov子空间，

b_1,b_2,\ldots,b_p. \tag{4.26}

矩阵A和初始向量(4.26)生成了块Krylov序列

b_1,b_2,\ldots,b_p,A b_1, A b_2, \ldots, A b_p,\ldots,A^{k-1} b_1, A^{k-1} b_2, \ldots, A^{k-1} b_p, \ldots. \tag{4.27}

带状Lanczos算法的目标是构造正交向量，

v_1,v_2,\ldots,v_j, \tag{4.28}

这些向量构成了块Krylov序列(4.27)中前j个线性无关向量所张成子空间的基。