应用于降阶建模

在特征值计算中，通常可以自由选择带状Lanczos方法的右起始向量和左起始向量。然而，在其他一些重要应用中，起始向量是作为问题的一部分给出的。一个这样的应用是多输入多输出时不变线性动力系统的降阶建模；例如，参见最近的调查[176]。这类系统的特点是具有以下形式的矩阵值传递函数：

H(s) = C^T \left(I - s A\right)^{-1} B, \quad s\in {\mathcal C}. \tag{7.83}

这里，A 是一个方阵，通常是非厄米矩阵，而

B = \begin{bmatrix} b_1 & b_2 & \cdots & b_m \end{bmatrix}, \quad C = \begin{bmatrix} c_1 & c_2 & \cdots & c_p \end{bmatrix} \tag{7.84}

是分别具有 m 和 p 列的矩形矩阵。此外，m 是输入的数量，p 是输出的数量，通常 m 和 p 是不同的。带状Lanczos方法（应用于 A 以及矩阵 (7.84) 的列，B 和 C 作为右起始向量和左起始向量）可以用来生成由 (7.83) 描述的线性动力系统的降阶模型。

在降阶建模中，还使用了具有负指数 k\leq 0 的条目 t_{jk} 和 \tilde{t}_{jk}。更准确地说，在这种情况下，算法 7.16 中的步骤 (16) 增加了以下六行： if j\leq m_c,
设置 \rho_{jk}=t_{j,k-m} 对于所有 k 满足 j-m_c+m \leq k \leq m,
并设置 \rho = \left[\, \rho_{ik} \, \right]_{i=1,2,\ldots,j,\, k=1,2,\ldots,m}
if j\leq p_c,
设置 \eta_{jk}=\tilde{t}_{j,k-p} 对于所有 k 满足 j-p_c+p \leq k \leq p,
并设置 \eta = \left[\, \eta_{ik} \, \right]_{i=1,2,\ldots,j,\, k=1,2,\ldots,p} 这里再次使用约定，算法 7.16 中未明确定义的条目 \rho_{ik} 和 \eta_{ik} 被设置为零。

矩阵 \rho 是上三角形且大小为 m_1 \times m。这里，m_1 定义为 m_c=m_c(j) 的值，在算法 7.16 的迭代 j 中达到 j=m_c。事实证明，m_1 只是 m 减去已被收缩的右初始向量 b_1,b_2,\ldots,b_m 的数量。特别是，m_1\leq m，并且当且仅当没有右起始向量被收缩时，m_1 = m。矩阵 \eta 是上三角形且大小为 p_1 \times p。这里，p_1 定义为 p_c=p_c(j) 的值，在算法 7.16 的迭代 j 中达到 j=p_c。数字 p_1 是 p 减去已被收缩的左初始向量 c_1,c_2,\ldots,c_p 的数量。特别是，p_1\leq p，并且当且仅当没有左起始向量被收缩时，p_1 = p。\rho 的条目是用来将右起始向量转换为前 m_1 个右Lanczos向量的系数，而 \eta 的条目是用来将左起始向量转换为前 p_1 个左Lanczos向量的系数。

现在设 j\geq \max\{m_1,p_1\}，并设 T_j^{\rm (pr)}、\rho 和 \eta 是算法 7.16 经过 j 次迭代后生成的矩阵。这三个矩阵随后定义了原始传递函数 (7.83) 的第 j 阶降阶模型，如下所示：

H_j(s) = \eta_j^T D_j \left(I_j - s T_j^{\rm (pr)}\right)^{-1} \rho_j,\quad s\in {\mathcal C}. \tag{7.85}

这里，

\rho_j = \left[ \begin{array}{c}\rho\\0\end{array} \right] \in {\mathcal C}^{j\times m}, \quad \eta_j = \left[ \begin{array}{c}\eta\\0\end{array} \right] \in {\mathcal C}^{j\times p}

是矩阵 \rho 和 \eta，分别添加了 j-m_1 和 j-p_1 行零。降阶模型 (7.85) 可以被证明是原始传递函数 (7.83) 的某种矩阵-Padé近似；参见 [176] 及其中的参考文献。