Lanczos方法
  Z. Bai 和 D. Day

非厄米Lanczos方法是一种斜投影方法(参见第3.2节)，用于求解非厄米特征值问题，

Ax=\lambda x \quad \mathrm{和} \quad y^{\ast} A = \lambda y^{\ast}, \tag{7.32}

其中A是一个非厄米矩阵。对于复对称矩阵(A=A^T但A \ne A^{\ast})，第7.11节介绍了一种特殊的Lanczos方法。

通过两个初始向量q_1和p_1，Lanczos方法构建了一对双正交基，用于Krylov子空间{\mathcal K}^j(A,q_1)和{\mathcal K}^j(A^{\ast},p_1)，前提是对于任意向量z，矩阵向量乘法Az和A^{\ast} z是可行的。内部循环使用两个三项递归。这些递归使用的内存和内存引用比第7.5节讨论的Arnoldi方法中的相应递归要少。Lanczos方法提供了右特征向量和左特征向量的近似。在估计计算的特征对的误差和条件数时，左右特征向量的可用性至关重要。然而，由于该方法不使用正交变换，存在中断和数值不稳定的风险。本节定义了基本的Lanczos方法及其主要性质，并介绍了提高方法数值稳定性和准确性的算法技术。