对称不定Lanczos方法
 Z. Bai, T. Ericsson, 和 T. Kowalski

在本节中，我们介绍一种用于求解广义特征值问题的Lanczos方法

A x = \lambda B x, \tag{8.21}

其中矩阵A和B为实数或复数对称矩阵，但A、B或任意标量\alpha和\beta组合的\alpha A + \beta B均非正定。A - \lambda B被称为对称不定矩阵束。

此类特征值问题源自多种应用领域，例如某些二次特征值问题的线性化，这在阻尼结构系统的建模中经常出现；参见第§9.2节。

从形式上看，对称Lanczos算法可用于计算部分特征对，因为矩阵B^{-1}A关于B内积是对称的。^[1]在这种更普遍的情况下，三项递推关系仍然关于B内积成立。该算法被称为对称不定Lanczos方法。此方法的主要问题在于基向量关于不定内积正交，因此无法保证它们线性独立。算法可能会因解体而偶尔失败。尽管如此，由于可能在内存需求和浮点运算方面带来显著节省，这种方法仍是解决问题的诱人途径。

1. 两个向量 x 和 y 之间的 B 内积定义为 (x,y)_B = y^{\ast} B x 如果 B 是对称且不定的，那么 (x,y)_B 是一个伪内积。它违反了标准内积定义中的条件 (x,x)_B \geq 0 对于所有 x 。