对称不定Lanczos方法
 Z. Bai, T. Ericsson, 和 T. Kowalski

在本节中，我们介绍一种用于求解广义特征值问题的Lanczos方法

此类特征值问题源自多种应用领域，例如某些二次特征值问题的线性化，这在阻尼结构系统的建模中经常出现；参见第§9.2节。

从形式上看，对称Lanczos算法可用于计算部分特征对，因为矩阵$B^{-1}A$关于$B$内积是对称的。^[1]在这种更普遍的情况下，三项递推关系仍然关于$B$内积成立。该算法被称为对称不定Lanczos方法。此方法的主要问题在于基向量关于不定内积正交，因此无法保证它们线性独立。算法可能会因解体而偶尔失败。尽管如此，由于可能在内存需求和浮点运算方面带来显著节省，这种方法仍是解决问题的诱人途径。

• 对称不定矩阵对的一些性质
• 算法
• 停止准则与精度评估
• 奇异$B$
• 软件可用性
• 数值示例
  • 例8.6.1.
  • 例8.6.2.
  • 例8.6.3.
• 注释与参考文献

1. 两个向量 $x$ 和 $y$ 之间的 $B$ 内积定义为 $(x,y)_B = y^{\ast} B x$ 如果 $B$ 是对称且不定的，那么 $(x,y)_B$ 是一个伪内积。它违反了标准内积定义中的条件 $(x,x)_B \geq 0$ 对于所有 $x$。