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对称不定Lanczos方法
 Z. Bai, T. Ericsson, 和 T. Kowalski

在本节中,我们介绍一种用于求解广义特征值问题的Lanczos方法

Ax=λBx,(8.21)A x = \lambda B x, \tag{8.21}
其中矩阵AABB为实数或复数对称矩阵,但AABB或任意标量α\alphaβ\beta组合的αA+βB\alpha A + \beta B均非正定。AλBA - \lambda B被称为对称不定矩阵束

此类特征值问题源自多种应用领域,例如某些二次特征值问题的线性化,这在阻尼结构系统的建模中经常出现;参见第§9.2节。

从形式上看,对称Lanczos算法可用于计算部分特征对,因为矩阵B1AB^{-1}A关于BB内积是对称的。[1]在这种更普遍的情况下,三项递推关系仍然关于BB内积成立。该算法被称为对称不定Lanczos方法。此方法的主要问题在于基向量关于不定内积正交,因此无法保证它们线性独立。算法可能会因解体而偶尔失败。尽管如此,由于可能在内存需求和浮点运算方面带来显著节省,这种方法仍是解决问题的诱人途径。



小节
  1. 两个向量 x x y y 之间的 B B 内积定义为 (x,y)B=yBx (x,y)_B = y^{\ast} B x 如果 B B 是对称且不定的,那么 (x,y)B (x,y)_B 是一个伪内积。它违反了标准内积定义中的条件 (x,x)B0 (x,x)_B \geq 0 对于所有 x x


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Susan Blackford 2000-11-20