停止准则与精度评估

由于对称不定矩阵束的特征问题不具备任何特殊的数学性质，我们可以借鉴针对一般非厄米矩阵开发的技术来评估不定矩阵束近似特征三元组的品质。尽管如此，我们可以利用对称性来简化分析并随后确定误差界限。这种简化的基础在于右和左特征向量之间的简单关系，即 H^{-1} B 的右特征向量 x 对应的左特征向量为 y = B\bar{x}。

为了评估 Ritz 三元组 \{ \theta^{(j)}_i,{x}^{(j)}_i,{y}^{(j)}_i \} 的精度，根据第§7.8节的讨论，已知存在一个矩阵 E^{(j)}_i 使得

(H^{-1} B - E^{(j)}_i ) {x}^{(j)}_i =\theta^{(j)}_i {x}^{(j)}_i,

其中

\Vert E^{(j)}_i\Vert _2 = \max \left\{\frac{\Vert r^{(j)}_i\Vert _2}{\Vert{x}^{(j)}_i\Vert _2}, \frac{\Vert s^{(j)}_i\Vert _2}{\Vert{y}^{(j)}_i\Vert _2}\right\}.

事实上，\Vert E^{(j)}_i\Vert _2 是最优的后向误差。根据标准的一阶扰动展开或第§7.13节中提出的误差界限，存在 H^{-1} B 的一个特征值 \mu，使得

\begin{aligned} \vert \mu - \theta^{(j)}_i \vert & \lesssim & \frac{\Vert{x}^{(j)}_i\Vert _2 \Vert Bq_{j+1}\Vert _2}{\vert (u^{(j)}_i)^T \Omega_j u^{(j)}_i \vert}, \end{aligned}

我们利用了方程 (8.24)、(8.25) 以及等式

({y}^{(j)}_i)^{\ast} {x}^{(j)}_i =(u^{(j)}_i)^T Q^T_j B Q_j u^{(j)}_i = (u^{(j)}_i)^T \Omega_j u^{(j)}_i.

此外，为了避免界限中显式涉及 Ritz 向量 {x}^{(j)}_i，我们注意到

\Vert{x}^{(j)}_i\Vert _2 = \Vert Q_j u^{(j)}_i\Vert _2 \leq \Vert Q_j\Vert _F \leq \sqrt{j}

以及

\Vert{y}^{(j)}_i\Vert _2 = \Vert B Q_j \bar{u}^{(j)}_i\Vert _2 \leq \Vert B Q_j \Vert _F,

假设 \Vert u^{(j)}_i\Vert = 1。回想一下，Q_j 的列被归一化为 1。

\Vert B Q_j \Vert^2_F = \sum^j_{i=1} \Vert Bq_i\Vert^2_2

可以在每次 Lanczos 迭代中更新。因此，误差 \vert \mu - \theta^{(j)}_i \vert 也可以被界限为

\vert \mu - \theta^{(j)}_i \vert \lesssim \frac{1}{ \vert (u^{(j)}_i)^T \Omega_j u^{(j)}_i \vert}\cdot\vert\gamma_i^{(j)}\vert \cdot \max \left\{ \Vert BQ_j\Vert _F, \sqrt{j} \Vert Bq_{j+1}\Vert _2 \right\},

这并不显式使用 Ritz 向量 {x}^{(j)}_i。综上所述，可以在算法 8.4 的内循环中（即步骤 (19)）使用

\frac{1}{ \vert (u^{(j)}_i)^T \Omega_j u^{(j)}_i \vert}\cdot \vert\gamma_i^{(j)}\vert \cdot \max \left\{ \Vert BQ_j\Vert _F, \sqrt{j} \Vert Bq_{j+1}\Vert _2 \right\} \tag{8.26}

作为临时误差估计。只有在所需数量的 Ritz 值 \theta^{(j)}_i 通过此测试后，才可以计算 Ritz 向量 {x}^{(j)}_i。此时，可以以形成 B{x}_i^{(j)} 的额外成本计算更精确的因子，

\max\left\{ \Vert B\bar{{x}}^{(j)}_i\Vert _2,\Vert{x}^{(j)}_i\Vert _2 \Vert Bq_{j+1}\Vert _2 \right\},

Ritz 值 \theta_i^{(j)} 近似于 H^{-1} B 的特征值，而量 \sigma+1/\theta_i^{(j)} 近似于原问题 (8.21) 的特征值 \lambda。我们可以使用上述界限估计

\left\vert\lambda-\left(\sigma+\frac{1}{\theta_i^{(j)}} \right)\right\vert \approx \frac{\vert\mu - \theta_i^{(j)}\vert}{\vert\theta_i^{(j)}\vert^2}.