奇异B矩阵

在对称不定兰索斯过程实施中，当B矩阵奇异时需特别小心。这里我们仅限于讨论H^{-1} B可对角化的情况。若H^{-1} B是缺陷的，问题将更为复杂，详情请参阅[161]。

当B奇异时，\{A,B\}具有无穷大特征值；对应无穷大特征值的特征向量位于B的零空间中，而对应感兴趣特征值（即有限特征值）的特征向量则属于H^{-1} B的值域。考虑以下示例：

A=\left[\begin{array}{cc}\alpha & \beta\\\beta & \gamma\end{array}\right], \quad B=\left[\begin{array}{cc}1 & 0 \\0 & 0\end{array}\right].

于是

H^{-1} B = (A-\sigma B)^{-1}B=\frac{1}{\delta}\left[\begin{array}{cc}\gamma & 0\\-\beta & 0\end{array}\right],

其中\delta = (\alpha-\sigma)\gamma-\beta^2。H^{-1} B的感兴趣特征值为\gamma/\delta，相应的特征向量为 [{\gamma} \;\; {-\beta}]^T（零特征值对应于原问题的无穷大特征值）。

注意，特征向量在B的零空间中有一个分量（例如示例中的-\beta），并且H^{-1} B的值域空间与\sigma无关。重要的是，兰索斯起始向量q必须位于此值域空间内，因为空间外的分量可能在兰索斯迭代过程中增长并污染里兹向量。

确保算法8.4生成的里兹向量完全位于H^{-1} B的值域内至关重要。为此，我们建议对算法8.4进行预处理和后处理步骤。

算法8.4中的初始向量q应位于H^{-1} B的值域内。例如，可以使用H^{-1} B与随机向量的乘积。在精确算术中，若初始向量q位于H^{-1} B的值域内，则所有兰索斯向量\{q_j\}都将属于H^{-1} B的值域[340]。

然而，在有限精度算术中，仅预处理初始向量q可能不足以确保里兹向量位于H^{-1} B的值域内。随着兰索斯迭代的进行，舍入误差导致兰索斯向量在B的零空间中获得不需要的分量。尽管可以通过[340]中推导的廉价递归来监控这些分量的大小，但无法廉价地从兰索斯向量中消除这些分量。幸运的是，有一种简单的后处理方案可以清除位于B零空间中的里兹向量的不期望分量。其思路是用H^{-1}Bx_i^{(j)}的倍数替换里兹向量{x}_i^{(j)}，显然这属于H^{-1} B的值域。实际上，无需显式计算向量H^{-1}Bx_i^{(j)}；我们可以利用兰索斯过程中现成的量来计算与H^{-1}B {x}_i^{(j)}平行的向量。由方程(8.23)可知

H^{-1}B{x}_i^{(j)}= \theta_i^{(j)} {x}_i^{(j)} +\gamma_i^{(j)}q_{j+1}.

因此，可以通过简单地用q_{j+1}的倍数更新{x}_i^{(j)}来廉价计算净化的里兹向量， (1/\theta_i^{(j)})H^{-1}B{x}_i^{(j)},

x_i^{(j)} := {x}_i^{(j)} +\frac{\gamma_i^{(j)}}{\theta_i^{(j)}}q_{j+1}. \tag{8.27}

这一技术最初在[162]中提出，旨在提高里兹向量的质量，后来在[340]中证明具有所需的净化效果。数值经验表明，更新后的向量几乎完全位于H^{-1} B的值域内，通常能提供更好的特征向量近似。该方案也推荐用于不定情况。