某些A和B的组合是正定矩阵

这是关于确定矩阵对的一般情况，现在B可能是奇异的。为了能够处理无穷大的特征值，通常的做法[425]是引入一个齐次表示法 通过一对非零数(\alpha,\beta)来表示特征值\lambda：

\lambda\equiv\alpha/\beta, \quad\quad \vert\alpha\vert^2+\vert\beta\vert^2 \gt 0.

当\beta = 0时，这样的对表示特征值\infty，这种情况发生在B是奇异矩阵时。 这种表示显然不是唯一的，因为(\xi\alpha,\xi\beta) 对于任何\xi\ne 0都表示相同的比率，因此也是相同的特征值。所以实际上一对(\alpha,\beta)是从一组给出相同比率的对中选出的代表。 两个特征值之间的差异是通过弦长度量来衡量的： 对于\lambda = \alpha/\beta和\widetilde\lambda=\widetilde\alpha/\widetilde\beta，

\chi(\lambda,\widetilde\lambda)\equiv\chi((\alpha, \beta),(\widetilde\alpha, \widetilde\beta)) =\frac{\vert\alpha\widetilde\beta-\beta\widetilde\alpha\vert}{\sqrt{|\alpha|^{2}+|\beta|^{2}}\sqrt{|{\widetilde{\alpha}}|^{2}+|{\widetilde{\beta}}|^{2}}} =\frac{|\lambda - \widetilde{\lambda}|}{\sqrt{1 + \vert\lambda\vert^2} \sqrt{1 + \vert\widetilde\lambda\vert^2}}. \tag{5.35}

一个等价的定义是关于厄米矩阵对\{A,B\}是确定对的，即克劳福德数

\gamma(A,B)\equiv\min_{\Vert x\Vert _2=1}\sqrt{ (x^*Ax)^2+(x^*Bx)^2 } \gt 0.

可以证明[425]，如果\{A,B\}是一个确定对，那么

• 存在一个\phi\in[0,2\pi)使得B_{\phi}是正定的，并且\gamma(A,B)=\lambda_{\min}(B_{\phi})，即B_{\phi}的最小特征值，其中
  A_{\phi}= A\cos\phi-B\sin\phi, \quad B_{\phi}= A\sin\phi+B\cos\phi. \tag{5.36}
  读者可以参考[86,87]了解实现这种B_{\phi}的算法，这反过来又产生了估计误差界限所需的\gamma(A,B)的下界。
• 存在一个n \times n的可逆矩阵X使得
  X^*AX =\Lambda_A,\quad X^*BX =\Lambda_B, \tag{5.37}
  其中
  \Lambda_A =\mathrm{diag}(\alpha_1,\alpha_2,\ldots,\alpha_n), \quad\Lambda_B =\mathrm{diag}(\beta_1,\beta_2,\ldots,\beta_n). \tag{5.38}

分解(5.37)和(5.38) 给出了关于底层特征值问题的完整图景。实际上，所有特征值都由对(\alpha_i,\beta_i)给出，对应的特征向量是Xe_i。如果，此外， 在(5.37)和(5.38)中 对于所有i，\vert\alpha_i\vert^2 + \vert\beta_i\vert^2=1，那么[423]

\Vert X\Vert _2\le\frac 1{\sqrt{\gamma(A,B)}},\quad\Vert X^{-1}\Vert _2\le\frac {\Vert(A,B)\Vert _2}{\sqrt{\gamma(A,B)}}. \tag{5.39}