下一节:残差向量
上一级:稳定性与准确性评估
上一节:关于聚集特征值的备注
这是关于确定矩阵对的一般情况,现在B可能是奇异的。为了能够处理无穷大的特征值,通常的做法[425]是引入一个齐次表示法
通过一对非零数(α,β)来表示特征值λ:
λ≡α/β,∣α∣2+∣β∣2>0.
当β=0时,这样的对表示特征值∞,这种情况发生在B是奇异矩阵时。
这种表示显然不是唯一的,因为(ξα,ξβ)
对于任何ξ=0都表示相同的比率,因此也是相同的特征值。所以实际上一对(α,β)是从一组给出相同比率的对中选出的代表。
两个特征值之间的差异是通过弦长度量来衡量的:
对于λ=α/β和λ=α/β,
χ(λ,λ)≡χ((α,β),(α,β))=∣α∣2+∣β∣2∣α∣2+∣β∣2∣αβ−βα∣=1+∣λ∣21+∣λ∣2∣λ−λ∣.(5.35)
一个等价的定义是关于厄米矩阵对{A,B}是确定对的,即克劳福德数
γ(A,B)≡∥x∥2=1min(x∗Ax)2+(x∗Bx)2>0.
可以证明[425],如果{A,B}是一个确定对,那么
- 存在一个ϕ∈[0,2π)使得Bϕ是正定的,并且γ(A,B)=λmin(Bϕ),即Bϕ的最小特征值,其中
Aϕ=Acosϕ−Bsinϕ,Bϕ=Asinϕ+Bcosϕ.(5.36)
读者可以参考[86,87]了解实现这种Bϕ的算法,这反过来又产生了估计误差界限所需的γ(A,B)的下界。
- 存在一个n×n的可逆矩阵X使得
X∗AX=ΛA,X∗BX=ΛB,(5.37)
其中
ΛA=diag(α1,α2,…,αn),ΛB=diag(β1,β2,…,βn).(5.38)
分解(5.37)和(5.38)
给出了关于底层特征值问题的完整图景。实际上,所有特征值都由对(αi,βi)给出,对应的特征向量是Xei。如果,此外,
在(5.37)和(5.38)中
对于所有i,∣αi∣2+∣βi∣2=1,那么[423]
∥X∥2≤γ(A,B)1,∥X−1∥2≤γ(A,B)∥(A,B)∥2.(5.39)
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Susan Blackford
2000-11-20