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某些AA和BB的组合是正定矩阵

这是关于确定矩阵对的一般情况，现在BB可能是奇异的。为了能够处理无穷大的特征值，通常的做法[425]是引入一个齐次表示法 通过一对非零数(α,β)(\alpha,\beta)来表示特征值λ\lambda：
λ≡α/β,∣α∣2+∣β∣2>0.\lambda\equiv\alpha/\beta, \quad\quad \vert\alpha\vert^2+\vert\beta\vert^2 \gt 0.
当β=0\beta = 0时，这样的对表示特征值∞\infty，这种情况发生在BB是奇异矩阵时。 这种表示显然不是唯一的，因为(ξα,ξβ)(\xi\alpha,\xi\beta) 对于任何ξ≠0\xi\ne 0都表示相同的比率，因此也是相同的特征值。所以实际上一对(α,β)(\alpha,\beta)是从一组给出相同比率的对中选出的代表。 两个特征值之间的差异是通过弦长度量来衡量的： 对于λ=α/β\lambda = \alpha/\beta和λ~=α~/β~\widetilde\lambda=\widetilde\alpha/\widetilde\beta，
χ(λ,λ~)≡χ((α,β),(α~,β~))=∣αβ~−βα~∣∣α∣2+∣β∣2∣α~∣2+∣β~∣2=∣λ−λ~∣1+∣λ∣21+∣λ~∣2.(5.35) \chi(\lambda,\widetilde\lambda)\equiv\chi((\alpha, \beta),(\widetilde\alpha, \widetilde\beta)) =\frac{\vert\alpha\widetilde\beta-\beta\widetilde\alpha\vert}{\sqrt{|\alpha|^{2}+|\beta|^{2}}\sqrt{|{\widetilde{\alpha}}|^{2}+|{\widetilde{\beta}}|^{2}}} =\frac{|\lambda - \widetilde{\lambda}|}{\sqrt{1 + \vert\lambda\vert^2} \sqrt{1 + \vert\widetilde\lambda\vert^2}}. \tag{5.35}
一个等价的定义是关于厄米矩阵对{A,B}\{A,B\}是确定对的，即克劳福德数
γ(A,B)≡min⁡∥x∥2=1(x∗Ax)2+(x∗Bx)2>0.\gamma(A,B)\equiv\min_{\Vert x\Vert _2=1}\sqrt{ (x^*Ax)^2+(x^*Bx)^2 } \gt 0.
可以证明[425]，如果{A,B}\{A,B\}是一个确定对，那么

分解(5.37)和(5.38) 给出了关于底层特征值问题的完整图景。实际上，所有特征值都由对(αi,βi)(\alpha_i,\beta_i)给出，对应的特征向量是XeiXe_i。如果，此外， 在(5.37)和(5.38)中 对于所有ii，∣αi∣2+∣βi∣2=1\vert\alpha_i\vert^2 + \vert\beta_i\vert^2=1，那么[423]

∥X∥2≤1γ(A,B),∥X−1∥2≤∥(A,B)∥2γ(A,B).(5.39)\Vert X\Vert _2\le\frac 1{\sqrt{\gamma(A,B)}},\quad\Vert X^{-1}\Vert _2\le\frac {\Vert(A,B)\Vert _2}{\sqrt{\gamma(A,B)}}. \tag{5.39}


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Susan Blackford 2000-11-20