关于聚类特征值的评述

正如矩阵 B 为正定且良态时的情况，当特征值 (\alpha,\beta) 与 \{A,B\} 的其他一个或多个特征值接近时，即当 (\alpha,\beta) 属于一个特征值聚类时，根据(5.42)，只要 \Vert r\Vert _2/\gamma(A,B) 很小，计算得到的 (\widetilde\alpha,\widetilde\beta) 仍然准确，但由于(5.43)中分母出现了间隙 \eta，计算得到的特征向量 \widetilde x 可能不准确。事实证明，与聚类特征值相关的每个单独特征向量对扰动非常敏感，但由所有这些特征向量张成的特征空间则不然。因此，对于聚类特征值，我们应计算整个特征空间。可以证明[299,430]，计算得到的特征空间与聚类相关特征空间之间的差异与定义为聚类内任一特征值与聚类外任一特征值在弦距度量中最小差异的间隙成反比。由于其定义方式，预计此间隙会很大。