残差向量

假设 (\widetilde\alpha,\widetilde\beta) 表示一个计算得到的特征值，而 \widetilde x 是其对应的计算特征向量。为了简化，我们对其进行归一化处理，使得

\Vert\widetilde x\Vert _2 = 1, \quad \vert\widetilde\alpha\vert^2+\vert\widetilde\beta\vert^2=1.

对应的残差向量或残差误差定义为

r = \widetilde\beta A\widetilde x - \widetilde\alpha B\widetilde x.

理想情况下，我们希望 r=0，但实际上 \Vert r\Vert _2 很小。可以想象，小的残差误差意味着计算得到的 (\widetilde\alpha,\widetilde\beta) 和 \widetilde x 具有良好的精度。我们感兴趣的是，在给定 r 的情况下，如何准确评估计算得到的 (\widetilde\alpha,\widetilde\beta) 和 \widetilde x 的精度。