将残差误差转化为后向误差

可以证明存在厄米矩阵 E 和 F，例如

(E,F) = \left[-r\widetilde x^*-\widetilde x r^*+\left(\widetilde\beta\widetilde x^* \widetilde A\widetilde x - \widetilde\alpha\widetilde x^*\widetilde B\widetilde x\right)\widetilde x\widetilde x^*\right]\cdot\left(\widetilde\beta I, -\widetilde\alpha I\right), \tag{5.40}

使得 (\widetilde\alpha,\widetilde\beta) 和 \widetilde x 是 \{A+E, B+F\} 的一个精确特征值及其对应的特征向量。 我们感兴趣的是那些范数尽可能小的矩阵 (E,F)。 结果表明，对于谱范数 \Vert\cdot\Vert _2，最佳的 (E,F)=(E_2,F_2) 和对于弗罗贝尼乌斯范数 \Vert\cdot\Vert _{F}，最佳的 (E,F)=(E_{F},F_{F}) 满足

\Vert(E_2, F_2)\Vert _2={\Vert r\Vert _2}, \quad \Vert(E_{F}, F_F)\Vert_F = \sqrt{2\Vert r\Vert_2^2 - (\widetilde\beta\widetilde x^* A\widetilde x-\widetilde\alpha\widetilde x^* B\widetilde x)^2}. \tag{5.41}

参见 [256,431,473]。^[1] 事实上，(E_{F},F_{F}) 由 (5.40) 明确给出。 因此，如果 \Vert r\Vert _2 很小，计算得到的 (\widetilde\alpha,\widetilde\beta) 和 \widetilde x 是附近矩阵的精确特征值和特征向量。这种误差分析称为后向误差分析，矩阵 (E,F) 是后向误差。

我们称一个算法在范数 \Vert\cdot\Vert 下对于近似特征对 ((\widetilde\alpha,\widetilde\beta),\widetilde x) 是\tau -后向稳定的，如果它是 \{A+E, B+F\} 的精确特征对，且 \Vert(E,F)\Vert\le\tau。 考虑到这些，可以对计算特征对 ((\widetilde\alpha,\widetilde\beta),\widetilde x) 的算法的后向稳定性做出说明。 按照惯例，如果 \tau = O(\epsilon_M \Vert(A,B)\Vert)，算法被称为后向稳定。

1. Kahan、Parlett 和 Jiang[256，定理1'] 仅给出了\widetilde\beta E-\widetilde\alpha F\equiv Z的最优范数。 取E=\widetilde\beta Z和F=-\widetilde\alpha Z，可见(E,F)与Z具有相同的2-范数和Frobenius范数。