针对厄米特征值问题(HEP)的谱变换Lanczos方法和针对非厄米特征值问题(NHEP)的移位-逆变换Arnoldi方法都需要求解线性系统。通常，人们采用直接方法，因为可以利用一次分解进行多次回代变换。然而，当直接求解器的使用变得不可行时，必须采用迭代求解方法。直接方法通常能得到较小的残差范数，而迭代方法的残差范数则取决于一个容差。迭代方法在采用较低残差容差时成本更高。因此，在使用迭代线性系统求解器时，不精确求解线性系统是有利的。基于这个原因，我们将在使用直接方法时的谱变换特征值求解器称为精确方法，而在使用迭代方法时称为非精确方法。本节旨在研究在谱变换中使用非精确线性系统求解器的情况。
我们从移位-逆变换Arnoldi方法开始，逐渐过渡到(Jacobi)Davidson方法和不精确有理Krylov方法。首先，在§11.2.1中，我们回顾了所使用的(精确)矩阵变换及其主要性质。在§11.2.2中，我们引入了非精确变换[323]的概念，并解释了其重要性。在§11.2.3和§11.2.4中，我们给出了一些关于非精确变换的Rayleigh-Ritz过程的结果。这包括非对称问题(Arnoldi[323]、Davidson[332])和对称问题(Lanczos[336]、Davidson[335,88])以及Jacobi-Davidson方法的结果。我们还可以利用有理Krylov方法的矩阵递推关系[291]来计算特征值，即使线性系统求解不精确。这在§11.2.7中进行了研究。