矩阵变换

考虑特征值问题 Ax = \lambda Bx。 谱变换或移位-求逆变换（SI） 定义为

T_{\rm SI} = (A - \mu B)^{-1} B,

其中 \mu 是移位或极点。 如果 Ax = \lambda Bx 则 T_{\rm SI} x = \gamma x 且 \gamma=(\lambda-\mu)^{-1}。 另一种选择是Cayley变换

T_{\mathrm{C}} = (A-\mu B)^{-1} (A - \nu B),

其中 \mu 是极点，\nu 是零点。 如果 Ax = \lambda Bx 则 T_{\mathrm{C}} x=\zeta x 且 \zeta = (\lambda-\mu)^{-1}(\lambda-\nu)。 由于 T_{\mathrm{C}} = I + (\mu-\nu) T_{\rm SI} 且Krylov空间相对于矩阵具有移位不变性，我们有

\mathcal{K}^k(T_{\mathrm{C}},v_1) = \mathcal{K}^k(T_{\rm SI},v_1) \ ,

因此，应用于 T_{\rm SI} 或 T_{\mathrm{C}} 的Arnoldi方法产生的Ritz向量相同，并且在分别对 \gamma 和 \zeta 进行反变换后，得到相同的 \lambda。