例11.2.3.

以下数值示例将对此进行说明。 奥尔姆斯特德模型[343]描述了从下方加热的粘弹性流体层的流动。 其方程为

\begin{aligned} \frac{\partial u}{\partial t} & = (1-C)\frac{\partial^2 v}{\partial X^2} + C\frac{\partial^2 u}{\partial X^2}+Ru-u^3,\\ B\frac{\partial v}{\partial t} & = u-v, \end{aligned}

其中，u表示流体速度，v与粘弹性力相关。 边界条件为u(0)=u(1)=0和v(0)=v(1)=0。 采用中心差分法离散化，网格尺寸为h=1/(n/2)， 方程可写为\dot{x}=f(x)，其中 x=[u_1,v_1,u_2,v_2,\ldots,u_{n/2},v_{n/2}]^*。我们考虑雅可比矩阵 A=\partial f/\partial x，当n=1000时，参数值为B=2，C=0.1，R=4.7，在平凡稳态解中求值。

表11.2： 奥尔姆斯特德问题中不精确有理Krylov方法的残差范数

	情况1		情况2
j	\Vert r_j\Vert	\Vert f_j\Vert	\Vert r_j\Vert	\Vert f_j\Vert
1	1.3\times 10^0	1.3\times 10^0	1.3\times 10^0	1.3\times 10^0
2	1.8\times 10^{-1}	1.8\times 10^{-1}	1.8\times 10^{-1}	1.8\times 10^{-1}
3	8.6\times 10^{-3}	8.5\times 10^{-3}	8.6\times 10^{-3}	8.6\times 10^{-3}
4	9.8\times 10^{-4}	9.9\times 10^{-4}	5.0\times 10^{-6}	1.7\times 10^{-6}
5	5.0\times 10^{-5}	5.0\times 10^{-5}	3.7\times 10^{-9}	1.0\times 10^{-13}
6	1.1\times 10^{-5}	1.1\times 10^{-5}	1.8\times 10^{-11}	2.1\times 10^{-20}
7	9.3\times 10^{-7}	9.4\times 10^{-7}
8	6.2\times 10^{-8}	6.3\times 10^{-8}
9	2.0\times 10^{-9}	1.9\times 10^{-9}
10	1.2\times 10^{-10}	1.3\times 10^{-10}

图 11.1 奥尔姆斯特德问题中不精确有理Krylov方法残差范数的对数图。圆圈表示\Vert f_j\Vert，实心点表示\Vert r_j\Vert。

我们通过GMRES方法求解线性系统，使用30个迭代向量。 该方法通过摩根的隐式重启GMRES[334]重新启动， 保持基中的15个最小Ritz对，直到残差范数满足 \Vert s_j\Vert \leq \tau \Vert r_{j-1}\Vert，其中 \tau=1\times 10^{-3}。 我们使用算法11.4计算最接近 5的特征值。 我们考虑两种情况。 对于情况1，我们使用固定的\mu=5。 对于情况2，我们使用两个步骤\mu=5，其余步骤求解校正方程(11.5)。从表11.2和图11.1的结果中， 我们可以看到情况1的线性收敛。由于线性系统更准确地求解(\tau=10^{-3}) 比特征值求解器的速度快，f_j和r_j以相同的速度收敛到零。 对于情况2，前两步的收敛是线性的，因为\mu_j是 恒定的。从第三次迭代开始，f_j以二次方式收敛到零。 \Vert r_j\Vert在前两步中线性收敛，然后在第三和第四步中以二次方式收敛，然后再次以线性收敛，收敛比率为\tau=10^{-3}。

残差范数r_j有两个项。 当\mu接近特征值时，第一项下降非常快。 当极点靠近谱时，第二项（线性系统求解器的残差）的下降通常要困难得多。 在实践中，我们可能需要通过选择最优的 \mu 来平衡外部迭代次数 （特征值求解器）和内部迭代次数（线性系统求解器）。 这一评论也与第11.2.3节的末尾相关。