不精确位移反演法

回顾§11.2.1，在精确算术和精确线性系统求解器的情况下，SI和Cayley变换产生相同的Krylov空间和相同的Ritz对。我们在前几节中通过理论论证和数值示例表明，当线性系统以小于1的相对误差容限\tau 求解时，Cayley变换是一个不错的选择。

当使用Cayley变换时，线性系统

(A -\mu B) w = (A - \theta B) x - s

被求解，其中 \Vert s\Vert \leq \tau \Vert(A - \theta B) x\Vert。 这个线性系统可以写成

(A -\mu B) (w - x) = (\mu - \theta) B x - s \ .

因此，设 z = (w- x)/(\mu-\theta) 和 t = s/(\mu-\theta)，我们得到 位移-反演线性系统

(A -\mu B) z = B x - t,

其中 \Vert t\Vert \leq \tau \Vert(A - \theta B) x\Vert/ (\mu-\theta)。 换句话说，我们可以使用SI，但不是使用相对残差容限，而是应该使用与Ritz残差范数 \Vert(A - \theta B) x\Vert 成比例的容限。