下一节:预处理Lanczos方法
上一级:不精确方法
上一节:例11.2.2.
带Cayley变换的Jacobi-Davidson方法
雅可比-戴维森方法在第§7.12节中进行了讨论。与戴维森方法不同的是,雅可比-戴维森方法将待解的线性系统投影到与当前里兹向量正交的空间上。这导致了解决校正方程的问题
(I−xj∗BxjBxjxj∗)(A−θjB)(I−xj∗xjxjxj∗)wj=(A−θjB)xj,(11.5)
其中
(θj,xj) 是第 j 次迭代的里兹对。(注意通常在右侧残差前放置一个减号。)假设 wj 与 xj 正交,即
(I−xjxj∗/xj∗xj)wj=wj。
当使用不精确求解器时,我们有一个满足以下条件的残差 sj
sj=(A−θjB)xj−(I−xj∗BxjBxjxj∗)(A−θjB)wj .
注意,由于假设 wj 与 xj 正交,投影在 wj 之前的部分被省略了。我们可以将其改写为
(A−θjB)wj=−ϵjBxj+(A−θjB)xj−sj=(A−(θj+ϵj)B)xj−sj,
其中
ϵj=−(xj∗(A−θjB)wj)/(xj∗Bxj)。
换句话说,校正方程的解 wj 是通过凯莱变换
TC=(A−θjB)−1(A−(θj+ϵj)B) 作用于最新的里兹向量得到的。
示例 11.2.1 在 [411] 中显示,当收敛时,ϵj 趋于零。凯莱变换的极点和零点都接近所需的特征值。这满足了在第§11.2.2节末尾提到的 Ax=λBx 和 TICu=ηu 的特征向量之间良好匹配的条件。
以下观察有点有趣。
由于
wj=−ϵj(A−θjB)−1Bxj+xj,
当 sj=0 时,我们从
xj∗wj=0 得到
θj+ϵj=θj+xj∗(A−θjB)−1Bxjxj∗xj .
因此,凯莱变换的极点是 xj 的瑞利-里兹商,零点是以 θj 为目标的调和瑞利-里兹商。
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Susan Blackford
2000-11-20