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带非精确Cayley变换的Arnoldi方法

在本段中,我们将讨论在伽辽金投影框架内使用不完全凯莱变换的情况。每一步迭代中,选择一个里兹值 θ\theta 作为零。我们限定于以下情况:线性系统(11.2)通过预处理器 MM 或静态线性系统求解器求解,使得 wj=M1(AθB)yjw_j = M^{-1} (A-\theta B) y_j 对于 j=1,,k1j=1, \ldots,k-1。因此,我们可以利用阿诺尔迪方法构建 TICM1(AθB)T_{\mathrm{IC}} \equiv M^{-1}(A-\theta B) 的 Krylov 空间。

算法 11.1:用于广义非线性特征值问题的近似Cayley变换Arnoldi方法

(1)  给定 v1v_1v1=1\|v_1\| = 1 并选择 vμv \neq \mu。
(2)  对于 j=1,...,k1j=1,...,k-1 执行以下步骤:
(3)      解 Mwj=(AvB)vjMw_j = (A - vB)v_j。
(4)      对 ww 进行正交化处理;使其相对于 v1,...,vjv_1,...,v_j 正交,得到 vj+1v_{j+1}。
(5) 计算投影特征对 VAVkz=θVBVkzV^*AV_kz = \theta V^*BV_kz。
(6) 选择一个Ritz对 (0,x=Vkz)(0, x = V_kz)。
(7) 收敛性检查:如果 AxθBxTOL\|Ax - \theta Bx\| \leq \text{TOL},则停止。
(8) 选择 v1=xv_1 = xv=θv = \theta 并从步骤 (2) 重新开始。

该方法的缺点是,更新 θ\theta 需要完全重新启动阿诺尔迪过程。

例如,向 λ1\lambda_1 的渐近收敛由 TIC=M1(Aλ1B)(AμB)1(Aλ1B)T_{\mathrm{IC}} = M^{-1} (A - \lambda_1 B) \approx (A - \mu B)^{-1} (A-\lambda_1 B) 的特征值分离程度决定。至于SI方法,当极点 μ\mu 更接近 λ1\lambda_1 时,分离程度提高。

μ\mu 非常接近里兹值 θ\theta 时,精确变换的特征值分离程度提高,但相应的线性系统求解难度增加,相比于 μ\mu 稍远离谱的情况。在 [323] 中,线性系统通过不完全分解和多重网格等预处理器求解。数值示例显示,当 μ\mu 稍远离谱时,算法 11.1 的收敛速度更快。



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Susan Blackford 2000-11-20