带非精确Cayley变换的Arnoldi方法

在本段中，我们将讨论在伽辽金投影框架内使用不完全凯莱变换的情况。每一步迭代中，选择一个里兹值 $\theta$ 作为零。我们限定于以下情况：线性系统（11.2）通过预处理器 $M$ 或静态线性系统求解器求解，使得 $w_j = M^{-1} (A-\theta B) y_j$ 对于 $j=1, \ldots,k-1$。因此，我们可以利用阿诺尔迪方法构建 $T_{\mathrm{IC}} \equiv M^{-1}(A-\theta B)$ 的 Krylov 空间。

算法 11.1：用于广义非线性特征值问题的近似Cayley变换Arnoldi方法

(1)  给定 $v_1$，$\|v_1\| = 1$ 并选择 $v \neq \mu$。
(2)  对于 $j=1,...,k-1$ 执行以下步骤：
(3)      解 $Mw_j = (A - vB)v_j$。
(4)      对 $w$ 进行正交化处理；使其相对于 $v_1,...,v_j$ 正交，得到 $v_{j+1}$。
(5) 计算投影特征对 $V^*AV_kz = \theta V^*BV_kz$。
(6) 选择一个Ritz对 $(0, x = V_kz)$。
(7) 收敛性检查：如果 $\|Ax - \theta Bx\| \leq \text{TOL}$，则停止。
(8) 选择 $v_1 = x$，$v = \theta$ 并从步骤 (2) 重新开始。

该方法的缺点是，更新 $\theta$ 需要完全重新启动阿诺尔迪过程。

例如，向 $\lambda_1$ 的渐近收敛由 $T_{\mathrm{IC}} = M^{-1} (A - \lambda_1 B) \approx (A - \mu B)^{-1} (A-\lambda_1 B)$ 的特征值分离程度决定。至于SI方法，当极点 $\mu$ 更接近 $\lambda_1$ 时，分离程度提高。

当 $\mu$ 非常接近里兹值 $\theta$ 时，精确变换的特征值分离程度提高，但相应的线性系统求解难度增加，相比于 $\mu$ 稍远离谱的情况。在 [323] 中，线性系统通过不完全分解和多重网格等预处理器求解。数值示例显示，当 $\mu$ 稍远离谱时，算法 11.1 的收敛速度更快。