在本段中，我们将讨论在伽辽金投影框架内使用不完全凯莱变换的情况。每一步迭代中，选择一个里兹值 \theta 作为零。我们限定于以下情况：线性系统（11.2）通过预处理器 M 或静态线性系统求解器求解，使得 w_j = M^{-1} (A-\theta B) y_j 对于 j=1, \ldots,k-1。因此，我们可以利用阿诺尔迪方法构建 T_{\mathrm{IC}} \equiv M^{-1}(A-\theta B) 的 Krylov 空间。
算法 11.1：用于广义非线性特征值问题的近似Cayley变换Arnoldi方法 (1) 给定 v_1，\|v_1\| = 1 并选择 v \neq \mu。 (2) 对于 j=1,...,k-1 执行以下步骤： (3) 解 Mw_j = (A - vB)v_j。 (4) 对 w 进行正交化处理；使其相对于 v_1,...,v_j 正交，得到 v_{j+1}。 (5) 计算投影特征对 V^*AV_kz = \theta V^*BV_kz。 (6) 选择一个Ritz对 (0, x = V_kz)。 (7) 收敛性检查：如果 \|Ax - \theta Bx\| \leq \text{TOL}，则停止。 (8) 选择 v_1 = x，v = \theta 并从步骤 (2) 重新开始。
该方法的缺点是，更新 \theta 需要完全重新启动阿诺尔迪过程。
例如，向 \lambda_1 的渐近收敛由 T_{\mathrm{IC}} = M^{-1} (A - \lambda_1 B) \approx (A - \mu B)^{-1} (A-\lambda_1 B) 的特征值分离程度决定。至于SI方法，当极点 \mu 更接近 \lambda_1 时，分离程度提高。
当 \mu 非常接近里兹值 \theta 时，精确变换的特征值分离程度提高，但相应的线性系统求解难度增加，相比于 \mu 稍远离谱的情况。在 [323] 中，线性系统通过不完全分解和多重网格等预处理器求解。数值示例显示，当 \mu 稍远离谱时，算法 11.1 的收敛速度更快。