位移-逆变换

无论是标准形式变换，如(8.3)、(8.4)还是(8.5)，都无法应用于A和B均为奇异矩阵或B为病态矩阵的情况。一种吸引人的流行技术是首先对原始问题进行位移处理，然后进行分裂-反转变换。这就是SI方法，如第3.3节所述。具体来说，设\sigma为用户选定的位移，使得矩阵A-\sigma B非奇异；那么原始问题(8.1)可以变换为

C x = \mu x\quad \mathrm{且} \quad z^{\ast} C = \mu z^{\ast}, \tag{8.6}

其中

C = (A - \sigma B)^{-1} B, \quad\mu = \frac{1}{\lambda - \sigma}, \quad \mathrm{且} \quad z= (A - \sigma B)^{\ast} y.

我们看到，问题(8.1)中接近位移\sigma的特征值\lambda被映射为简化标准特征值问题(8.6)的外部特征值，即最大幅值的特征值，而这些特征值正是迭代方法首先能够良好近似的特征值。

在实践中，有效的位移选择取决于用户的偏好和对基础广义特征问题的了解。一个好的位移不仅能放大所需的特征值，还能导致矩阵A-\sigma B成为良态矩阵。这往往使得选择好的位移成为一个具有挑战性的任务。

对于简化标准特征值问题(8.6)的迭代方法应用，需要计算矩阵-向量乘积

r = C q = \left( (A - \sigma B)^{-1} B \right) q

或

s = C^{\ast} p = \left( (A - \sigma B)^{-1} B \right)^{\ast} p

对于给定的向量q和p。为了高效计算，设

A - \sigma B = {\mathcal L} {\mathcal U} \tag{8.7}

表示A-\sigma B的某种方便的分解，其中{\mathcal L}和{\mathcal U}是方阵。由于假设A-\sigma B是非奇异的，因子{\mathcal L}和{\mathcal U}也是非奇异的。分解应选择使得与{\mathcal L}、{\mathcal L}^{\ast}和/或{\mathcal U}、{\mathcal U}^{\ast}相关的线性方程组能够高效求解，通常使用稀疏LU分解。参见第10.3节。当然，如果这导致方便的线性系统，也可以选择{\mathcal L} = A - \sigma B和{\mathcal U} = I。

利用上述分解，矩阵-向量乘积r = Cq可以按以下步骤计算：
(a) 形成v = B q，
(b) 解{\mathcal L} w = v求w，
(c) 解{\mathcal U} r = w求r。

类似地，矩阵-向量乘积s = C^{\ast} p可以按以下三个步骤计算：
(a'){\mathcal U}^{\ast} v = p求v，
(b'){\mathcal L}^{\ast} w = v求w，
(c')s = B^{\ast} w。

SI技术在处理广义特征值问题(8.1)时是一个强大的工具。主要问题，往往成为瓶颈的，是找到A-\sigma B的方便分解(8.7)，使得相关的线性方程组能够高效求解。如果用A-\sigma B精确求解线性系统成本过高，那么可以考虑使用不精确的Cayley变换（见第11.2节），或者Jacobi-Davidson方法。