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对BB取逆

若BB为非奇异矩阵， 则问题 (8.1)等价于
(B−1A)x=λx且y~∗(B−1A)=λy~∗,(8.3)(B^{-1}A) x = \lambda x \quad \mathrm{且} \quad\tilde{y}^{\ast} (B^{-1} A) = \lambda \tilde{y}^{\ast}, \tag{8.3}
其中 y~=B∗y\tilde{y} = B^{\ast} y。 或者，问题 (8.1)也等价于
(AB−1)x~=λx~且y∗(AB−1)=λy∗,(8.4)(AB^{-1})\tilde{x} = \lambda \tilde{x} \quad \mathrm{且} \quad y^{\ast} (AB^{-1}) = \lambda y^{\ast}, \tag{8.4}
其中 x~=Bx\tilde{x} = B x。 若主要关注右特征向量，则(8.3)更优，因为它避免了额外的反向变换。

对于迭代方法，如第 7章所述， 针对简化标准特征值问题 (8.3) 或(8.4)，无需计算 B−1AB^{-1}A或AB−1AB^{-1}。这是处理大型稀疏AA和BB的关键观察点。 只需计算矩阵-向量乘积，例如

r=(B−1A)q,r = (B^{-1}A) q,
对于给定向量qq。对于双侧Lanczos型方法，向量
s=(B−1A)∗ps = (B^{-1}A)^{\ast}p
对于给定向量pp也是必要的。 注意，向量 r=(B−1A)qr = (B^{-1}A) q可以分两步计算：
(a) 形成u=Aqu = A q，
(b) 解Br=uB r = u求rr。

类似地，若必要，向量 s=(B−1A)∗ps = (B^{-1}A)^{\ast}p可以这样计算：
(a)′^{\prime} 解B∗v=pB^{\ast} v = p求vv，
(b)′^{\prime} 形成s=A∗vs = A^{\ast} v。

每一步都可以利用稀疏性。 一般而言，除了Jacobi-Davidson方法外，迭代方法在步骤(b) （及(b)′^{\prime}）需要精确求解线性系统。若可能，优先使用直接线性系统求解器，例如利用BB的LU分解。详见第 10.3节关于稠密或稀疏LU分解的讨论。

这种转换为标准形式引入的误差 可能与 ∥A∥2∥B−1∥2\Vert A\Vert _2 \Vert B^{-1}\Vert _2成正比。 若BB为病态矩阵，则此方法可能存在问题。 在这种情况下，可以考虑使用SI变换或下文讨论的Jacobi-Davidson方法。


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Susan Blackford 2000-11-20