对B取逆

若B为非奇异矩阵， 则问题 (8.1)等价于

(B^{-1}A) x = \lambda x \quad \mathrm{且} \quad\tilde{y}^{\ast} (B^{-1} A) = \lambda \tilde{y}^{\ast}, \tag{8.3}

其中 \tilde{y} = B^{\ast} y。 或者，问题 (8.1)也等价于

(AB^{-1})\tilde{x} = \lambda \tilde{x} \quad \mathrm{且} \quad y^{\ast} (AB^{-1}) = \lambda y^{\ast}, \tag{8.4}

其中 \tilde{x} = B x。 若主要关注右特征向量，则(8.3)更优，因为它避免了额外的反向变换。

对于迭代方法，如第 7章所述， 针对简化标准特征值问题 (8.3) 或(8.4)，无需计算 B^{-1}A或AB^{-1}。这是处理大型稀疏A和B的关键观察点。 只需计算矩阵-向量乘积，例如

r = (B^{-1}A) q,

对于给定向量q。对于双侧Lanczos型方法，向量

s = (B^{-1}A)^{\ast}p

对于给定向量p也是必要的。 注意，向量 r = (B^{-1}A) q可以分两步计算：
(a) 形成u = A q，
(b) 解B r = u求r。

类似地，若必要，向量 s = (B^{-1}A)^{\ast}p可以这样计算：
(a)^{\prime} 解B^{\ast} v = p求v，
(b)^{\prime} 形成s = A^{\ast} v。

每一步都可以利用稀疏性。 一般而言，除了Jacobi-Davidson方法外，迭代方法在步骤(b) （及(b)^{\prime}）需要精确求解线性系统。若可能，优先使用直接线性系统求解器，例如利用B的LU分解。详见第 10.3节关于稠密或稀疏LU分解的讨论。

这种转换为标准形式引入的误差 可能与 \Vert A\Vert _2 \Vert B^{-1}\Vert _2成正比。 若B为病态矩阵，则此方法可能存在问题。 在这种情况下，可以考虑使用SI变换或下文讨论的Jacobi-Davidson方法。