下一节:对B分解取逆
上一级:转换为标准问题
上一节:转换为标准问题
若B为非奇异矩阵,
则问题 (8.1)等价于
(B−1A)x=λx且y~∗(B−1A)=λy~∗,(8.3)
其中
y~=B∗y。
或者,问题 (8.1)也等价于
(AB−1)x~=λx~且y∗(AB−1)=λy∗,(8.4)
其中
x~=Bx。
若主要关注右特征向量,则(8.3)更优,因为它避免了额外的反向变换。
对于迭代方法,如第 7章所述,
针对简化标准特征值问题 (8.3)
或(8.4),无需计算
B−1A或AB−1。这是处理大型稀疏A和B的关键观察点。
只需计算矩阵-向量乘积,例如
r=(B−1A)q,
对于给定向量q。对于双侧Lanczos型方法,向量
s=(B−1A)∗p
对于给定向量p也是必要的。
注意,向量
r=(B−1A)q可以分两步计算:
(a) 形成u=Aq,
(b) 解Br=u求r。
类似地,若必要,向量
s=(B−1A)∗p可以这样计算:
(a)′ 解B∗v=p求v,
(b)′ 形成s=A∗v。
每一步都可以利用稀疏性。
一般而言,除了Jacobi-Davidson方法外,迭代方法在步骤(b)
(及(b)′)需要精确求解线性系统。若可能,优先使用直接线性系统求解器,例如利用B的LU分解。详见第 10.3节关于稠密或稀疏LU分解的讨论。
这种转换为标准形式引入的误差
可能与
∥A∥2∥B−1∥2成正比。
若B为病态矩阵,则此方法可能存在问题。
在这种情况下,可以考虑使用SI变换或下文讨论的Jacobi-Davidson方法。
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Susan Blackford
2000-11-20