转换为标准问题

我们可以将GHEP（5.1）重新表述为一个标准特征值问题，如果我们能对矩阵B或A或它们的线性组合进行因式分解。关于矩阵分解的简要概述，请参见§10.3。

在前一种情况下，我们进行分解

B=LL^{\ast}, \tag{5.4}

例如，使用Cholesky分解，并对

Cy=\lambda y, \tag{5.5}

应用标准的厄米算法，其中C=L^{-1}AL^{-\ast}。原矩阵束（5.1）的特征向量x可以通过回代恢复，

x=L^{-\ast}y\,.

这种策略在矩阵B相对于求逆是良态的，或者其结构比A更简单时是可取的，例如当B是对角矩阵时。¹

矩阵C是厄米的，我们可以应用第四章4中描述的任何迭代算法。每次矩阵C应用于一个向量时，计算按照表达式中的括号顺序进行，

y=Cx=L^{-1}(A(L^{-\ast}x)),

即先回代，然后矩阵向量乘法，再前向代入。

我们也可以应用第四章4中的移位-反演谱变换（SI），注意到

(C-\sigma I)^{-1}= (L^{-1}AL^{-\ast}-\sigma I)^{-1}= L^{\ast}(A-\sigma B)^{-1}L,

并使用对称不定分解，通常，A-B=R^DR 其中D是块对角矩阵，以计算

y=(C-\sigma I)^{-1}x=L^{\ast}(R^{-1}(D^{-1}(R^{-\ast}(Lx))))

按照括号中的顺序。

与标准情况一样，这种移位-反演变体通常收敛步数更少，弥补了对移位矩阵A-\sigma B进行因式分解和在三角矩阵上应用额外操作的成本。

看起来移位-反演算法需要两次矩阵分解，一次是B（5.4），一次是A-\sigma B（5.6），但如果我们使用专门为广义特征问题开发的算法（5.1），则可以避免对B进行分解，这些算法将在本章后面描述。

另一种避免分解B的方法是应用第七章7中描述的非厄米矩阵算法，对非厄米矩阵

C=(A-\sigma B)^{-1}B\,.

原矩阵束（5.1）的特征值\lambda可以计算为

\lambda=\sigma+\frac{1}{\theta},

其中\theta是C的特征值。它与原矩阵束（5.1）具有相同的特征向量。

第二种方法的主要优点是我们可以使用标准的非厄米代码，例如隐式重启Arnoldi方法（参见§7.6），易于获得。只要B相对于求逆是良态的，非对称矩阵C的特征问题就是良态的，但仍有可能得到违反GHEP某些性质的解，例如，可能会得到具有微小但非零虚部的特征值。

1. 当矩阵 B 处于病态时，将选主元技术融入Cholesky分解中可以增强该过程的数值稳定性[472]。