引言

一个广义厄米特征值问题(GHEP)由以下形式给出：

Ax=\lambda B x\,, \tag{5.1}

其中，A和B是厄米的，即A^{\ast} = A，B^{\ast} = B。 我们称形式为(5.1)中的矩阵对\{A,B\}为一个矩阵束。 在本章中，我们进一步假设A或B或对于某些标量\alpha和\beta的\alpha A + \beta B是正定矩阵，在这种情况下，我们谈论一个厄米正定束。 这一假设在许多实际重要情况下成立，并且其理论与标准厄米特征值问题密切相关，如第4章所述。 如果不存在正定组合，我们也可以将\{A,B\}视为一般束，并使用第8章所述的理论和算法。

在非标准情况下，即\alpha A + \beta B是正定矩阵时，可以通过注意到当B是正定时，束

(A-\theta(\alpha A + \beta B))x=0 \tag{5.2}

具有特征值\theta_i=\lambda_i/(\beta+\alpha \lambda_i)，并且与原始束(5.1)具有相同的特征向量。 可以对这一修改后的束应用任何适用于正定B的算法，并从\theta_i恢复\lambda_i。

GHEP (5.1)具有n个实特征值\lambda_i，我们可以按递增顺序排列它们，使得\lambda_1 \leq \lambda_2 \leq \cdots \leq \lambda_n。 与标准情况一样，多个特征值可能重合，但某些特征值可能是无穷大。 如果矩阵A和B是正定的，则\lambda_1>0，但如果A是半正定的，我们只能说\lambda_1\geq 0。

当束\{A,B\}是厄米正定时，可以找到n个相互B-正交的特征向量x_i,\,i=1,\dots,n，使得

A=X \Lambda X^{\ast},\quad B=X X^{\ast}, \tag{5.3}

其中\Lambda=\mathrm{diag}(\lambda_i)，X=[x_1,x_2,\dots,x_n]。 特征向量x_i不是唯一的，但对于每个不同的特征值，存在一个唯一的约化子空间。 对于厄米正定束，约化子空间与特征值的重数具有相同的维度。重要的是要记住，当一对特征值重合时，它们的特征向量失去了个性：无法说一组向量是多重特征值的唯一特征向量。

在某些情况下，矩阵B是奇异的（半正定）。只要对于B的零空间中的所有向量x，Ax\neq 0，我们仍然有一个厄米正定束。此时，束(5.1)具有p重无穷特征值，其约化子空间为B的零空间。在大多数实际情况下，我们并不关心计算这些无穷特征值，因为它们对应于约束、对称性或物理应用中特征值计算的刚体模式。

A - \lambda B的特征值\{\lambda_i\}可能是良态或病态的。如果B=I（或接近它），特征值是良态的（接近它），如同厄米特征值问题。但如果\vert x^{\ast}_i B x_i\vert很小，其中x_i是\lambda_i的单位特征向量，\lambda_i可能非常病态。我们在第5.7节中更详细地介绍了计算特征值和特征向量的误差评估。