直接方法

在本节中，我们将简要讨论计算稠密矩阵特征值和特征向量的方法。通过B的分解（参见5.4），广义厄米特征值问题（GHEP，参见5.1）被转化为标准厄米特征值问题（参见5.5）。随后，可以采用第§4.2节中讨论的直接方法。

具体来说，在LAPACK库（参见[12]）中，提供了以下驱动程序来解决B为正定矩阵的广义厄米特征值问题（GHEP，参见5.1）：

• 简单驱动程序xSYGV计算所有特征值和（可选）特征向量。其底层算法是QR算法；参见第§4.2节。
• 专家驱动程序xSYGVX计算所有或选定的部分特征值和（可选）特征向量。如果所需的特征值或特征向量数量较少，专家驱动程序比简单驱动程序更快。该驱动程序使用QR算法、二分法和逆迭代中更高效的方法。
• 分治驱动程序xSYGVD解决与简单驱动程序相同的问题。对于大型矩阵，它比简单驱动程序快得多，但需要更多的内存空间。名称“分治”指的是其底层分治算法；参见第§4.2节。

对这些方法的数值分析表明，如果B相对于求逆是病态的，即条件数\kappa_2(B) = \Vert B\Vert _2\Vert B^{-1}\Vert _2很大，这些方法可能会在数值上不稳定，并且在计算的特征值和特征向量中产生较大误差。目前还没有任何直接方法可以直接应用于保持A和B对称性的A和B。另一种方法是应用QZ算法（参见第§8.2节），但这将失去对称性。