引言

本章我们将探讨标准的厄米或（更常见的）实对称矩阵的特征值问题（HEP），

Ax=\lambda x\, \tag{4.1}

其中 A=A^{\ast}。 这是最常见的代数特征值问题，对此我们拥有最可靠的理论和最强大的算法。

关于厄米特征值问题的基本理论概述见第2.2节。 已知问题（4.1）具有 n 个实特征值 \lambda_i，我们可以按递增顺序排列为 \lambda_1 \leq \lambda_2 \leq \cdots \leq \lambda_n。注意，多个特征值可能相同。在许多应用中，矩阵 A 是正定的，即 \lambda_1>0（或半正定，即 \lambda_1\geq 0）。 即使在可以利用正定性的情况下，我们仍选择在本章中处理具有一般特征值分布的厄米矩阵 A。

当 A 是厄米矩阵时，总能找到 n 个相互正交的特征向量 x_i,\,i=1,\dots,n，使得

A=X \Lambda X^{\ast}, \tag{4.2}

其中 \Lambda=\mathrm{diag}(\lambda_i)， X=[x_1,x_2,\dots,x_n]，且 X^{\ast}X=I。特征向量 x_i 并非唯一；唯一的是每个不同特征值对应的不变子空间。 对于厄米矩阵 A，不变子空间的维度与特征值的重数相同。重要的是要记住，当某些特征值相同时，它们的特征向量失去了个性：无法断言一组向量是某个多重特征值的唯一特征向量。 两种不同的算法，甚至同一算法的两次运行，都会在不变子空间中给出不同的代表性特征向量。 另一方面，用户有权要求算法产生的特征向量近似彼此正交，即便矩阵具有多重特征值。

A 的特征值总是良态的。 如果对矩阵 A 添加扰动 E， 那么每个特征值的扰动最多不超过谱范数 \Vert E\Vert _2，

\vert\lambda_i(A+E)-\lambda_i(A)\vert\leq \Vert E\Vert_2 \,. \tag{4.3}

还有几个更强的结果，例如 Wielandt-Hoffman 不等式，它表明特征值差的平方和被 E 元素的平方和所控制；详见第4.8节及其参考文献。 在许多情况下，人们关注相对于范数 \Vert A\Vert 较小的特征值，对于这些特征值，不等式（4.3）并不十分令人满意，因为它允许这些小特征值有较大的相对扰动。在某些附加假设下，可以得出相对扰动的扰动界。

对于特征向量的扰动，没有像（4.3）这样简单的结果：必须增加特征值分离的假设。 让我们引用 Davis 和 Kahan 的经典 \sin \theta 定理，见 [101]。

假设 (\mu,z) 是 A 的特征对 (\lambda_i, x_i) 的近似，其中 z 已归一化使得 \Vert z\Vert _2 = 1。 对应于 z 的“最佳” \mu 是 Rayleigh 商 \mu = z^{\ast} A z，因此我们假设 \mu 取此值。 假设 \mu 比 A 的其他任何特征值更接近 \lambda_i，并设 \delta 为 \mu 与其他特征值之间的间隙： \delta = \min_{\lambda_j \neq \lambda_i} \vert \mu - \lambda_j \vert。 定义残差向量 r 为 r=Az-\mu z；于是我们有

\sin\angle(z,x_i)\leq\frac{\Vert r\Vert _2}{\delta}\,.

在相同的假设下，我们可以得到特征值近似的改进界限，

\vert \mu - \lambda_i \vert \le \min \left\{\Vert r \Vert_2, \frac{\Vert r \Vert_2^2}{\delta}\right\}.

这个最小值中的第一个选项等价于先前的界（4.3），因为 \mu 是扰动矩阵 A+E 的特征值，其中 E=-rz^{\ast} 是一个范数为 \Vert E\Vert _2 = \Vert r\Vert _2 的秩一扰动（在界（4.3）中，E 不必是厄米矩阵）。 读者可参考第4.8节了解更多细节。