存储需求

在表4.1的最后一列中，我们给出了所需存储量的估计。

矩阵数量

表示需要存储多少个向量。2或3的含义很明显；“中等”意味着所需向量数是寻求的特征值数量m的倍数，例如3m到5m。“少量”比适度更少，例如m+10，而“大量”则更多。

分解方法

指示是否需要额外的矩阵存储。“LU”表示稀疏LU分解，“ILU”表示不完全分解。这应该比LU分解更紧凑。

最后，我们注意到，诸如计算小于给定实数\alpha或位于给定区间[\alpha, \beta]内的A的特征值数量等任务，并不需要计算特征值，因此可以以更低的成本完成。 关键工具是矩阵惯性（matrix inertia）。A的惯性是由三个整数组成的三元组(\nu(A),\zeta(A),\pi(A))，其中\nu(A)是A的负特征值数量，\zeta(A)是A的零特征值数量，\pi(A)是A的正特征值数量。西尔维斯特惯性定律（Sylvester's law of inertia）指出，矩阵的惯性在合同变换下是不变的；也就是说，对于所有非奇异矩阵F，A和F^T A F具有相同的惯性。例如，参见[198, p. 403]或[114, p. 202]。

假设位移矩阵A - \alpha I具有LDL^{T}分解

A - \alpha I = L D L^T,

其中D是一个对角矩阵。根据西尔维斯特惯性定律，\nu(A - \alpha I) = \nu(D)。因此，从A - \alpha I的LDL^{T}分解中负对角元素的数量给出了小于\alpha的A的特征值数量。在工程文献中，\nu(A-\alpha I)通常被称为Sturm序列数。

很容易看出，假设\alpha < \beta且两个位移矩阵A - \alpha I和A - \beta I是非奇异的，那么\nu(A - \beta I) - \nu(A - \alpha I)就是区间[\alpha, \beta]内的特征值数量。因此，计算A在给定区间[\alpha, \beta]内的特征值数量的成本相当于对A - \alpha I和A - \beta I进行两次LDL^{T}分解的成本。这比在[\alpha, \beta]内找到所有特征值要便宜得多。参考第10.3节了解LDL^{T}分解的可用软件。

在实践中，计数技术经常被用作验证所谓数值方法在给定区间[\alpha, \beta]内找到所有特征值的置信区间的工具。