稳定性与精度评估
  Z. Bai和R. Li

在本节中，我们将讨论评估计算出的特征值及其对应特征向量精度的工具，这些特征值和特征向量来自于一个规则矩阵对\{A,B\}的广义非厄米特征值问题(GNHEP)。我们仅假设在成功计算结束后，残差向量通常是可用的，或者后续计算成本较低。对于密集GNHEP的计算特征值、特征向量及降阶子空间的误差估计处理，请参阅《LAPACK用户指南》第四章[12]。

对于一般规则矩阵对\{A,B\}的情况，比第7.13节（第页）讨论的标准非厄米特征值问题(NHEP)更为复杂，特别是当B为奇异矩阵时，特征多项式\det (A-\lambda B)的次数不再等于矩阵A和B的维度n。即使B在数学上非奇异但接近奇异，尝试将其转换为B^{-1}A的标准特征值问题时，可能会出现巨大的特征值，从而导致数值不稳定性。为了涵盖所有可能性，提出了用非零数对(\alpha,\beta)来表示特征值\lambda的齐次表示法：

\lambda\equiv\alpha/\beta, \quad\quad \vert\alpha\vert^2+\vert\beta\vert^2>0.

当\beta = 0时，这样的数对表示无穷大特征值，这种情况发生在B为奇异矩阵时。这种表示显然不是唯一的，因为对于任意\xi\ne 0，(\xi\alpha,\xi\beta)表示相同的比值，因此代表相同的特征值。实际上，数对(\alpha,\beta)是从给出相同比值的一类数对中选出的一个代表。

在这种新的特征值表示下，特征多项式变为\det(\beta A-\alpha B)，它在\alpha和\beta中的总次数确实是n。（实际上，其展开中的第i项是\alpha^i\beta^{n-i}的倍数。）

但是，在特征值表示非唯一性的情况下，我们如何衡量两个特征值之间的差异呢？我们采用弦距度量来衡量\lambda = \alpha/\beta和\widetilde\lambda=\widetilde\alpha/\widetilde\beta之间的距离，其弦距定义为：

\chi(\lambda,\widetilde\lambda) = \chi((\alpha, \beta),(\widetilde\alpha, \widetilde\beta)) = \dfrac{\vert\alpha\widetilde\beta - \beta\widetilde\alpha\vert}{\sqrt{\vert\alpha\vert^2+\vert\beta\vert^2}\sqrt{\vert\widetilde\alpha\vert^2+\vert\widetilde\beta\vert^2}} = \dfrac{\lambda - \widetilde{\lambda}}{\sqrt{1 + \vert\lambda\vert^2} \sqrt{1 + \vert\widetilde\lambda\vert^2}}.

现在，我们准备讨论评估计算近似值精度的议题。