将残差误差转化为后向误差

可以证明，计算出的特征值和特征向量是某个邻近矩阵对的确切特征值和特征向量，即：

\widetilde\beta (A+E)\widetilde x=\widetilde\alpha (B+F)\widetilde x,

以及

\widetilde\beta \widetilde y^{\ast} (A+E)=\widetilde\alpha\widetilde y^{\ast} (B+F)

如果 \widetilde y 可用，其中误差矩阵 E 和 F 相对于 A 和 B 的范数较小。

1. 仅 \widetilde x 可用而 \widetilde y 不可用。那么，对于 (A+E,B+F) 对，使得 (\widetilde\alpha,\widetilde\beta) 和 \widetilde x 是其精确特征值及其对应特征向量的最优误差矩阵 (E,F)（在 2-范数和 Frobenius 范数中）满足
   \Vert(E,F)\Vert _2=\Vert(E,F)\Vert _{F}= \Vert r\Vert _2. \tag{8.40}

2. \widetilde x 和 \widetilde y 均可用。那么，对于 (A+E,B+F) 对，使得 (\widetilde\alpha,\widetilde\beta)、\widetilde x 和 \widetilde y 是其精确特征值及其对应特征向量的最优误差矩阵 (E_2,F_2)（在 2-范数中）和 (E_{F},F_{F})（在 Frobenius 范数中）满足
   \Vert(E_2,F_2)\Vert_2=\max\{\Vert r\Vert_2, \Vert s^\ast\Vert_2\} \tag{8.41}
   以及
   \Vert(E_{F},F_{F})\Vert_{F}= \sqrt{\Vert r\Vert_2^2+\Vert s^\ast\Vert_2^2-(\widetilde\beta\widetilde y^\ast A\widetilde x-\widetilde\alpha\widetilde{y}^\ast B\widetilde{x})^2}. \tag{8.42}

参见 [256,431,473].

我们称算法输出的近似特征对 ((\widetilde\alpha,\widetilde\beta),\widetilde x) 对于范数 \Vert\cdot\Vert 是 \tau-后向稳定的，如果它是 (A+E,B+F) 的精确特征对，且 \Vert(E,F)\Vert\le\tau；类似地，算法输出的特征三元组 ((\widetilde\alpha,\widetilde\beta),\widetilde x,\widetilde y) 对于范数 \Vert\cdot\Vert 是 \tau-后向稳定的，如果它是 (A+E,B+F) 的精确特征三元组，且 \Vert(E,F)\Vert\le\tau。基于这些，可以对计算特征对 ((\widetilde\alpha,\widetilde\beta),\widetilde x) 或特征三元组 ((\widetilde\alpha,\widetilde\beta),\widetilde x,\widetilde y) 的算法的后向稳定性进行论述。传统上，如果 \tau = O(\epsilon_M \Vert(A,B)\Vert)，算法被称为后向稳定的。