计算特征值的误差界限

将 r 改写为

G^{-1}r=(G^{-1}AG^{-*})(G^*\widetilde x)-\widetilde\lambda(G^*\widetilde x).

根据 (4.54) 在页 ，我们有

\vert\widetilde\lambda-\lambda\vert\le \frac {\Vert G^{-1}r\Vert_2}{\Vert G^* \widetilde{x}\Vert_2} = \frac{\Vert r\Vert_{B^{-1}}}{\Vert\widetilde x\Vert _B}\le\Vert B^{-1}\Vert _2\Vert r\Vert _2 \tag{5.31}

对于某些特征值 \lambda 的对 \{A,B\}。 为了使用这个界限，需要对 \Vert B^{-1}\Vert _2 进行良好的估计。

通过更多信息，可以获得更好的界限。 假设 (\widetilde\lambda,\widetilde x) 是特征对 (\lambda,x) 的近似。 对应于 \widetilde x 的“最佳” \widetilde\lambda 是瑞利商 \widetilde\lambda = \widetilde x^{\ast} A \widetilde x/\widetilde x^{\ast} B \widetilde x， 因此我们假设 \widetilde\lambda 具有这个值。 假设 \widetilde\lambda 比对中的任何其他特征值更接近 \lambda，并且 令 \delta 是 \widetilde\lambda 与对中任何其他特征值之间的间隙 。那么

\vert\widetilde\lambda-\lambda\vert\le \frac 1{\delta}\cdot\frac{\Vert r\Vert^2_{B^{-1}}}{\Vert\widetilde{x}\Vert^2_B}\le \Vert B^{-1}\Vert _2^2\frac {\Vert r\Vert _2^2}{\delta}. \tag{5.32}

如果间隙 \delta 相当大，这将改进 (5.31)。在实践中，我们总是可以选择更好的一个。 这个界限还需要关于 \delta 的信息，除了残差误差 r 和 \Vert B^{-1}\Vert _2。 通常，这种信息在成功计算后可用，例如，通过位移-反迭代 Lanczos 算法，该算法通常在位移附近提供特征值，从而产生关于 \delta 的良好信息。这个评论也适用于下面的界限 (5.33) 和 (5.34)。