正定矩阵 B

我们将其转化为一个等价的标准厄米特征值问题(HEP)。具体步骤如下：选择 B 的一个分解：

B=GG^*. \tag{5.26}

于是，A - \lambda B 的广义特征值问题等价于 G^{-1}AG^{-*} 的标准HEP。两者共享相同的特征值，因为

Ax=\lambda B x\quad\Leftrightarrow\quad G^{-1}AG^{-*} (G^* x)=\lambda (G^* x),

这也意味着，如果 x 是这对矩阵的特征向量，G^* x 就是矩阵 G^{-1}AG^{-*} 的特征向量；反之，如果 y 是 G^{-1}AG^{-*} 的特征向量，G^{-*}y 就是这对矩阵的特征向量。 G 的常见选择包括：

1. G=B^{1/2}，即 B 的唯一正定平方根。在这种情况下，G^*=G。这种选择在理论研究中足够好。
2. G 是乔列斯基(Cholesky)因子；可选地带有枢轴变换，即 G 是下三角矩阵且对角线元素为正。这种选择在数值计算中更受欢迎。
3. 类似地，G 是上三角矩阵且对角线元素为正。它与第二种选择具有相同的优点。

接下来，有时使用由正定矩阵 M 诱导的内积 (\cdot\,,\,\cdot)_M、相应的向量范数 \Vert\cdot\Vert _M 以及两向量间角度函数（更准确地说，是两个由向量张成的子空间之间的角度）\theta_M(\,\cdot\,,\,\cdot\,) 更为方便。在我们的情况下，M=B 或 B^{-1}。它们的定义如下：

\begin{aligned} (x,y)_M &\equiv y^*Mx,\\ \Vert x\Vert _M &\equiv \sqrt{(x,x)_M} \equiv \sqrt{x^*Mx},\\ \cos\theta_M(x,y) &\equiv \frac{(x,y)_M}{\Vert x\Vert _M\Vert y\Vert _M}. \end{aligned}

当 M=I 时，这三者都简化为通常的定义。不难看出

\Vert M^{-1}\Vert _2^{-1/2} \Vert x\Vert _2\le\Vert x\Vert _M\le\Vert M\Vert _2^{1/2} \Vert x\Vert _2. \tag{5.27}

通过一些额外的工作，我们可以将 \theta_M 与通常的角度函数联系起来，例如，当 M=I 时，如下所示：

(2\kappa(M))^{-1/2} \sin\theta(x,y)\le\sin\theta_M(x,y)\le (2\kappa(M))^{1/2}\sin\theta(x,y). \tag{5.28}