将残差误差转化为后向误差

可以证明存在厄米矩阵 E，例如

E = -r\widetilde x^*-\widetilde x r^*+\left(\widetilde x^*A\widetilde x-\widetilde\lambda \widetilde x^*B\widetilde x \right)\widetilde x\widetilde x^*, \tag{5.29}

使得 \widetilde\lambda 和 \widetilde x 是 \{A+E,B\} 的精确特征值及其对应的特征向量。 我们感兴趣的是那些范数尽可能小的矩阵 E。 事实证明，对于谱范数 \Vert\cdot\Vert _2 而言，最佳的 E=E_2 以及对于 Frobenius 范数 \Vert\cdot\Vert _{F} 而言，最佳的 E=E_{F} 满足

\Vert E_2\Vert _2=\Vert r\Vert _2, \quad \Vert E_{F}\Vert_F = \sqrt{2\Vert r\Vert^2_2- (\widetilde x^* A\widetilde x-\widetilde\lambda\widetilde x^* B\widetilde x)^2}. \tag{5.30}

参见 [256,431,473]。 实际上，E_{F} 由 (5.29) 明确给出。 因此，如果 \Vert r\Vert _2 很小，那么计算得到的 \widetilde\lambda 和 \widetilde x 就是 邻近 矩阵的精确特征值和特征向量。 此类误差分析被称为 后向误差分析，而矩阵 E 则是 后向误差。

我们称一个算法在范数 \Vert\cdot\Vert 下对于近似特征对 (\widetilde\lambda,\widetilde x) 是 \tau-后向稳定 的，如果它是 \{A+E,B\} 的精确特征对且 \Vert E\Vert\le\tau。 基于这些概念，可以对计算特征对 (\widetilde\lambda,\widetilde x) 的算法的后向稳定性进行论述。 按照惯例，如果 \tau = O(\epsilon_M \Vert(A,B)\Vert)，其中 \epsilon_M 是机器精度，则称该算法为 后向稳定 的。