计算特征值的误差界

对于厄米特征值问题，矩阵A的第i大特征值与矩阵A+E的第i大特征值之差最多为\Vert E\Vert _2。因此，小的后向误差意味着计算出的特征值具有小的（前向）误差，即：

\vert\widetilde\lambda-\lambda\vert \le \Vert E_2\Vert _2=\Vert r\Vert _2 \tag{4.54}

其中\lambda是矩阵A的某个特征值。

通过更多信息，可以获得更好的误差界限。假设(\widetilde\lambda,\widetilde x)是矩阵A的特征对(\lambda,x)的一个近似。对应于\widetilde x的“最佳”\widetilde\lambda是瑞利商\widetilde\lambda = \widetilde x^{\ast} A \widetilde x，因此我们假设\widetilde\lambda取此值。假定\widetilde\lambda比A的其他任何特征值更接近\lambda，并设\delta为\widetilde\lambda与其他任何特征值之间的间隔： \delta = \min_{\lambda_j \neq \lambda} \vert \widetilde\lambda - \lambda_j \vert。 于是我们有：

\vert\widetilde\lambda-\lambda\vert \le \frac {\Vert r\Vert _2^2}{\delta}. \tag{4.55}

如果间隔\delta足够大，这将改进(4.54)。在实践中，我们总是可以选择更好的那个。

注意，(4.55)需要关于\delta的信息，除了残差误差r。通常，在成功计算后，例如通过带位移的Lanczos算法，通常会提供在位移附近的特征值，从而产生关于\delta的良好信息。这一评论也适用于下面的(4.56)中的界限。