将残差误差转化为后向误差

存在厄米矩阵 E，使得 \widetilde\lambda 和 \widetilde x 是 A+E 的一个精确特征值及其对应的特征向量，即

(A+E)\widetilde x=\widetilde\lambda\widetilde x.

其中一种 E 的形式为

E = -r\widetilde x^*-\widetilde x r^* +\left(\widetilde x^*A\widetilde x -\widetilde\lambda\right)\widetilde x\widetilde x^*. \tag{4.52}

我们关注的是那些范数尽可能小的矩阵 E。事实证明，对于谱范数 \Vert\cdot\Vert _2，最佳的 E=E_2 和对于 Frobenius 范数 \Vert\cdot\Vert _{F}，最佳的 E=E_{F} 满足

\Vert E_2\Vert _2=\Vert r\Vert _2 \quad \mathrm{and} \quad\Vert E_F\Vert _F=\sqrt{\Vert r\Vert^2_2 - \left(\widetilde x^* A\widetilde x-\widetilde\lambda\right)^2}; \tag{4.53}

参见，例如 [256,431]。实际上，E_{F} 由 (4.52) 明确给出。因此，如果 \Vert r\Vert _2 很小，计算得到的 \widetilde\lambda 和 \widetilde x 就是附近矩阵的一个精确特征对。这种类型的误差分析称为 后向误差分析，矩阵 E 是 后向误差。

我们称一个算法如果输出的近似特征对 (\widetilde\lambda,\widetilde x) 对于范数 \Vert\cdot\Vert 是 \tau -后向稳定 的，如果它是 A+E 的一个精确特征对，且 \Vert E\Vert\le\tau。根据这个定义，可以对计算特征对 (\widetilde\lambda,\widetilde x) 的算法的数值稳定性进行说明。按照惯例，如果 \tau = O(\epsilon_M \Vert A\Vert)，其中 \epsilon_M 是机器精度，则称该算法为 后向稳定 的。