非线性特征问题
  J. Demmel

本章汇集了几个存在有效算法的非线性特征值问题的实例。由于没有一种单一的方法能应对所有非线性情况，因此每个实例都需采取不同的处理方式。

最简单的非线性特征值问题是二次特征值问题（quadratic eigenvalue problem, QEP）

L( \lambda )x = (\lambda^2 M + \lambda B + K)x=0.

其中，\lambda称为特征值，x是（右）特征向量。如果对于任意\lambda，{\rm det}L( \lambda )不恒为零，则称为正则的；否则称为奇异的。它可以通过转换为广义线性特征值问题来处理，如第2.5.7节和第2.6.7节所示。QEP出现在第2.2.8节介绍的阻尼弹簧质量系统中：运动方程M \ddot{x}(t) + B \dot{x}(t) + Kx(t) =0可以通过代入x(t) = e^{\lambda t} x来求解，其中x是一个常数向量，\lambda是一个待确定的常数标量。由此得到如上的\lambda^2 Mx + \lambda B x + Kx = 0。详见第9.2节。

更高次的多项式特征值问题(\sum_{i=0}^m \lambda^i A_i)x=0也可以类似处理。详见第9.3节。

最后，第9.4节考虑了可以表示为在n乘m正交矩阵集合上最大化标量函数F(Y)的非线性特征值问题。最简单的情况是最大化F(Y) = Y^* AY，其中A是厄米矩阵且m=1；答案是A的最大特征值。如果F(Y) = {\rm tr} Y^*AY，即Y^*AY的对角线元素之和（迹），那么答案是厄米矩阵A的m个最大特征值之和。对于这些问题，存在比这里介绍的基于共轭梯度的优化方案更有效的算法，但其优势在于能推广到更广泛的函数F。我们再给出两个例子。其一，如果A_1,\ldots,A_m是n乘n的实对称矩阵，本应共享一组特征向量但因噪声干扰而不再共享，那么我们寻求一个正交矩阵Y，使得所有Y^*A_iY的非对角线元素的范数之和最小。其二，在使用局域密度近似的量子力学计算中，我们希望最大化{\rm tr}Y^*AY + g(Y)，其中g(Y)是一个复杂的非线性项，代表电子间相互作用的能量。这里介绍的优化方法能处理相当一般的函数g(Y)。