相关的特征值问题

1. 如果B是非奇异的， 那么非厄米特征问题B^{-1}A x = \lambda x具有与Ax = \lambda Bx相同的特征值\lambda_i和相应的右特征向量x_i。 类似地，AB^{-1}z = \lambda z具有与Ax = \lambda Bx相同的特征值\lambda_i和右特征向量z_i = Bx_i。 如果A是非奇异的，A^{-1}B x = \mu x具有与Ax = \lambda Bx相同的右特征向量x_i，其特征值为倒数 \mu_i = 1/\lambda_i。 类似地，如果A是非奇异的，BA^{-1} z = \mu z具有倒数特征值\mu_i = 1/\lambda_i和右特征向量z_i = Ax_i。 关于左特征向量可以做出类似的陈述。

2. 更一般地，假设 Ax = \lambda Bx具有特征值\lambda_i和相应的右特征向量x_i。设\alpha_1，\alpha_2，\beta_1和\beta_2 为标量，使得 \alpha_1 \beta_2 - \alpha_2 \beta_1 \neq 0。那么 (\alpha_1 A + \beta_1 B) x = \mu (\alpha_2 A + \beta_2 B)x 具有与Ax = \lambda Bx相同的特征向量x_i和 特征值 \mu_i = (\alpha_1 \lambda_i + \beta_1)/(\alpha_2 \lambda_i + \beta_2)。如果 \alpha_2 A + \beta_2 B和 \alpha_1 A + \beta_1 B 之一或两者都是非奇异的，则可以应用上述第1项中的方法。

3. 设 p( \lambda ) = A_n \lambda_n - \sum_{i=0}^{n-1} A_i \lambda^i为一个m \times m矩阵多项式，其中 {\rm det }(p(\lambda))不恒为零。 p(\lambda)的特征对(\lambda_i, x_i)满足 p(\lambda_i)x_i = 0。定义p(\lambda)的mn \times mn 块伴随矩阵束为
   A - \lambda B =\begin{bmatrix} 0-\lambda I & I & & & \\ & \ddots & \ddots & & \\ & & \ddots & \ddots & \\ & & & 0-\lambda I & I \\ A_0 & A_1 & \cdots & A_{n-2} & A_{n-1}-\lambda A_n \end{bmatrix},
   其中所有元素都是m \times m块，所有未明确显示的元素都是0。 那么 Ax = \lambda Bx是一个常规的广义特征值问题， A - \lambda B的特征值是p(\lambda)的特征值。 注意有mn个特征值。 如果 (\lambda_i, x_i)是p(\lambda)的一个特征对，那么 [ x_i^T, \lambda_i x_i^T , \ldots , \lambda_i^{n-1} x_i^T]^T是C的右特征向量[194]。