特征问题的具体化

本节内容与对应的第2.5.6节几乎相同。

1. 计算所有特征值至指定精度。通常通过计算广义舒尔形式来实现。
2. 计算复平面某个区域的特征值\lambda_i。通常通过计算与所需区域特征值对应的近似右（及可能的左）不变子空间来实现。我们拥有有效算法的平面区域包括：
   1. 最接近（或最远离）用户选定点 \mu（包括 \infty）的特征值，
   2. 实部（或虚部）最大（或最小）的特征值，
   3. 最接近（或最远离）复平面上任意选定直线或圆的特征值。

对于上述每种可能性，用户还可以计算矩阵在指定不变子空间上的投影；若子空间是k维的，则投影是一个k乘k矩阵，其特征分解可被计算。用户还可以计算所求不变子空间中的右（及可能的左）特征向量。对于聚集在一起的特征值，用户可能选择计算相关的不变子空间，因为在这种情况下，单个特征向量可能非常病态，而不变子空间则可能较为良态。最后，对于这些量中的任何一个，用户可能还想计算其条件数。

尽管我们拥有解决这些问题的有效算法，但我们不一定能在所有用户可接受的时间和空间内解决所有大规模问题 ¹。

1. 在广义厄米特征值问题(GHEPs)中，我们提到了在一个区间[\alpha, \beta]内计算特征值数量的能力。对于稀疏厄米矩阵束，这种计算有时比在区间[\alpha, \beta]内实际求解特征值要便宜得多。尽管针对常规的广义非厄米特征值问题(GNHEP)存在此类计数算法[32]，但其成本与实际计算特征值的变换方法相当，因此我们不对此进行深入探讨。