相关特征问题

1. 考虑广义厄米特征问题（GNHEP） Ax = \lambda Bx， 其中 A 和 B 是方阵且 B 非奇异。矩阵 B^{-1}A 具有与 Ax - \lambda Bx 相同的特征值和右特征向量。如果 y 是左特征向量，即 y^*A = \lambda y^*B， 则 B^*y 是 B^{-1}A 的左特征向量。关于 AB^{-1} 的类似陈述也成立。如果 B = B_L B_R 是 B 的分解 （来自高斯消元法、QR分解或其他方法）， B_L^{-1} A B_R^{-1} 具有与 A 相同的特征值，右特征向量为 B_R x，左特征向量为 B_L^*y。 如果 B 是良态的，或者 AB^{-1}、B^{-1}A 或 B_L^{-1} A B_R^{-1} 可以准确计算，这是求解 Ax = \lambda Bx 的有效方法。如果 B 是病态的，最好将其视为 GNHEP 处理， 参见第2.6节。

2. 设 p( \lambda ) = \lambda^n - \sum_{i=0}^{n-1} a_i \lambda^i 是一个首一多项式。定义 n 阶的多项式 p(\lambda) 的伴随矩阵为
   C = \begin{bmatrix} 0 & 1 & & & \\ & \ddots & \ddots & & \\ & & \ddots & \ddots & \\ & & & 0 & 1 \\ a_0 & a_1 & \cdots & a_{n-2} & a_{n-1} \end{bmatrix},
   其中未明确显示的所有元素均为 0。那么 C 的特征值 是 p(\lambda)=0 的根 \lambda_i，右特征向量 为 x_i = [ 1, \lambda_i , \ldots , \lambda_i^{n-1}]^T。如果 p(\lambda) 有重根，C 不可对角化。 求解多项式 p(\lambda) 的根的一个可靠但非最优高效的算法是求出 C 的所有特征值。

3. 设 p( \lambda ) = \lambda^n - \sum_{i=0}^{n-1} A_i \lambda^i 是一个首一矩阵多项式， 其中每个 A_i 是 m 阶方阵。 p(\lambda) 的特征对 (\lambda_i, x_i) 满足 p(\lambda_i)x_i = 0。 定义 nm 阶的多项式 p(\lambda) 的块伴随矩阵为
   C = \begin{bmatrix} 0 & I & & & \\ & \ddots & \ddots & & \\ & & \ddots & \ddots & \\ & & & 0 & I \\ A_0 & A_1 & \cdots & A_{n-2} & A_{n-1} \end{bmatrix},
   其中所有元素均为 m 阶方块，未明确显示的所有元素均为 0。 那么 C 的特征值 \lambda_i 是 p(\lambda_i) 的特征值。 注意共有 mn 个特征值。 如果 (\lambda_i, x_i) 是 p(\lambda) 的特征对，则 [ x_i^T, \lambda_i x_i^T , \ldots , \lambda_i^{n-1} x_i^T]^T 是 C 的右特征向量[194]。