示例

我们继续使用在第2.1节和图2.1中引入的例子。现在我们考虑单位质量m_i=1但非零阻尼常数b_i的情况。（非单位质量的情况在第2.6.8节处理。）这简化了运动方程为 \ddot{x}(t) = -B \dot{x} (t) -K x(t)。我们通过变量代换来求解这些方程：

y(t) = \begin{bmatrix} \dot{x}(t) \\ x(t) \end{bmatrix},

由此得到

\begin{aligned} \dot{y}(t) &= \begin{bmatrix} \dot{x}(t) \\ x(t) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -B\dot{x}(t) - Kx(t) \\ \dot{x}(t)\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -B & -K \\ I & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \dot{x}(t) \\ x(t) \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} -B & -K \\ I & 0 \end{bmatrix} y(t) \equiv A y(t). \end{aligned}

我们再次通过代入y(t) = e^{\lambda t} y来求解，其中y是一个常向量，\lambda是一个待确定的常标量。这得到

Ay = \lambda y.

因此，y是矩阵A的一个特征向量，而\lambda是对应的特征值，其中A是一个非厄米矩阵。