高阶多项式特征值问题

某些应用会引出高阶多项式特征值问题(PEP)

\Psi(\lambda) x = 0 \quad \mathrm{and} \quad y^{\ast} \Psi(\lambda) = 0, \tag{9.42}

其中\Psi(\lambda)是一个矩阵多项式，定义为

\Psi(\lambda) \equiv \lambda^\ell C_\ell + \lambda^{\ell -1} C_{\ell -1} +\cdots + \lambda C_1 + C_0,

其中C_j是n阶方阵。 关于矩阵多项式的数学性质的详尽研究，可以在[194]中找到。

为了使特征值问题定义明确，这些矩阵必须满足某些性质； 特别是C_\ell应该是非奇异的。 类似于二次问题，这些问题也可以线性化为

A z = \lambda B z,

其中

A \equiv \begin{bmatrix} 0 & I & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & I & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \ddots & \vdots \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & I \\ -C_0 & -C_1 & -C_2 & \cdots & -C_{\ell -1} \end{bmatrix}, \quad B \equiv \begin{bmatrix} I & \\ & I & \\ & & \ddots & \\ & & & I & \\ & & & & C_{\ell} \end{bmatrix}

x和z之间的关系由 z=(x^T,\lambda x^T,\ldots,\lambda^{\ell-1}x^T)^T给出。 B^{-1}A是PEP的块伴随矩阵。 广义特征值问题Az=\lambda Bz可以用第8章中讨论的方法之一来解决。 这种方法的一个缺点是，必须处理阶数为n\times \ell的更大矩阵，并且这些矩阵也有n\times \ell个特征对。这意味着必须检查计算出的哪些特征对满足原始多项式方程。 鲁赫[372]（参见戴维斯[102]）讨论了直接处理问题 (9.24)的方法，例如，使用牛顿法。对于较大的n值，可以预期这些技术的收敛性会出现各种问题。 在§9.2.5中，我们讨论了一种可用于处理大n问题的方法。在这种方法中，首先将给定的问题(9.24)投影到一个低维子空间上，并得到一个类似的低维问题。然后可以用上述方法之一来解决这个低维多项式特征值问题。在[221]中，使用这种降维技术成功地解决了一个四阶多项式问题。