条件数

矩阵束 A - \lambda B 的特征值 \lambda_i 可能是良态的，也可能是病态的。 如果 B=I（或接近），那么这些特征值的条件数与第2.2.5节中描述的厄米特征问题的条件数一样（或接近）。 但如果 \vert x_i^* B x_i\vert 非常小，其中 x_i 是 \lambda_i 的单位特征向量，那么 \lambda_i 可能是非常病态的。 例如，将

A_0 - \lambda B_0 = \begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 10^{-6} \end{bmatrix} - \lambda \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 10^{-6} \end{bmatrix}

变为

A_1 - \lambda B_1 =\begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 10^{-6} + \epsilon \\ \end{bmatrix}- \lambda\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 10^{-6} \\ \end{bmatrix}

将会把特征值从 1 = 10^{-6}/10^{-6} 变为 (10^{-6} + \epsilon)/10^{-6} = 1 + 10^6 \epsilon； 即，\epsilon 的变化被放大了 10^6 倍。

特征向量和特征空间也可能因同样的原因而病态，如第2.2.5节所述：如果一个特征值与其邻近的其他特征值之间的间距很小，那么其特征向量将是病态的。即使间距很大，如果特征值如上例所示是病态的，特征向量也可能是病态的。同样，由一组特征值的特征向量张成的特征空间可能比单个特征向量的条件要好得多。更多细节请参阅第5.7节。