良态与病态

矩阵 A 的特征值总是处于良态， 这意味着在范数上将 A 改变最多 \epsilon 时， 任何特征值的变化也不会超过 \epsilon。 我们参考第4.8节中的技术定义。

这对于大多数目的来说已经足够了，除非用户对小特征值的前几位有效数字感兴趣， 即特征值的大小不超过 \epsilon。 例如，计算 \lambda_i = 10^{-5} 的误差范围在正负 \epsilon = 10^{-4} 内意味着 计算出的 \lambda_i 的前几位有效数字可能都不正确。 参见[114,118]关于小特征值敏感性及其前几位有效数字何时能准确计算的讨论。

另一方面，特征向量和特征空间可能是病态的。 例如，做如下改变

A_0 = \begin{bmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & \epsilon \\ 0 & \epsilon & 1 \end{bmatrix} \quad \to \quad A_1 = \begin{bmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1+\epsilon \end{bmatrix}

会使对应于接近1的两个特征值的两个特征向量旋转\pi/4，无论\epsilon有多小。因此它们对微小变化非常敏感。 特征向量的条件数取决于其特征值与最近其他特征值之间的间隔：间隔越小，特征向量越敏感。 在这个例子中，接近1的两个特征值非常接近，因此它们的间隔很小，对应的特征向量也很敏感。 但它们所张成的二维不变子空间对A的变化非常不敏感（因为它们的特征值都接近1，与下一个最近的特征值2相距甚远）。 因此，当对应于一组接近特征值的特征向量过于病态时，用户可能希望计算它们所张成的不变子空间的基，而不是单个特征向量。