特征问题的具体化

下面是一些典型的特征问题，因为它们在应用中自然出现，而且我们对它们有很好的算法：

1. 计算所有特征值至指定精度。
2. 计算某些指定下标集合的特征值 \lambda_i， 其中 i \in {\mathcal I} = \{1,2,\ldots,n\}， 包括特殊情况下的最大 m 个特征值 \lambda_{n-m+1} 至 \lambda_n，以及最小 m 个特征值 \lambda_1 至 \lambda_m。 同样，所需精度可指定。
3. 计算给定实轴子集内的所有特征值， 例如区间[\alpha, \beta]。同样，所需精度可指定。
4. 统计区间[\alpha, \beta] 内的所有特征值数量。 这不需要计算区间[\alpha, \beta] 内的特征值，因此成本可能低得多。
5. 计算最接近给定值 \mu 的若干特征值。

对于上述每种可能性（第4项除外），用户还可以计算相应的特征向量。 对于聚集在一起的特征值， 用户可能选择计算对应的不变子空间， 因为在这种情况下，单个特征向量可能非常病态， 而不可约子空间可能较为良态。 最后，对于这些量中的任何一个，用户可能还希望计算其条件数。

尽管我们拥有解决这些问题的有效算法， 但我们未必能在所有用户可接受的时间和空间内解决所有大规模问题。