特征值分解

定义 \Lambda = {\rm diag}(\lambda_1 ,\ldots, \lambda_n ) 和 X = [x_1,\ldots,x_n]。 X 被称为 A - \lambda B 的特征向量矩阵。 由于 x_i 是关于由 B 诱导的内积的单位正交向量，我们可以看到 X^*BX=\Lambda_B，是一个非奇异的对角矩阵。 n 个等式 A x_i = \lambda_i B x_i （i=1,\ldots,n） 也可以写成 AX = BX \Lambda 或 X^*AX = X^*BX \Lambda = \Lambda_B \Lambda。 因此 X^*AX \equiv \Lambda_A 也是对角矩阵。 如下分解

X^* A X = \Lambda_A \quad \mathrm{和} \quad X^* B X = \Lambda_B

（或 A = X^{-\ast} \Lambda_A X^{-1} 和 B = X^{-\ast} \Lambda_B X^{-1}） 被称为 A - \lambda B 的特征值分解。 换句话说，A - \lambda B 通过变换 X 与对角矩阵束 \Lambda_A - \lambda \Lambda_B 相合。

如果我们取 X 的 k 列 （例如 \hat{X}= X(:,[2,3,5]) = 第2、3和5列），那么这些列张成 A - \lambda B 的一个特征空间。 如果我们取 \hat{\Lambda}_A = {\rm diag}(\hat{\Lambda}_{A,22} , \hat{\Lambda}_{A,33},\hat{\Lambda}_{A,55} ) 的相应子矩阵，并类似地定义 \hat{\Lambda}_B， 那么我们可以写出相应的 部分特征值分解 为 \hat{X}^* A \hat{X}= \hat{\Lambda}_A 和 \hat{X}^* B \hat{X}= \hat{\Lambda}_B。 如果 \hat{X} 中的列被 k 个不同向量替换，这些向量张成相同的特征子空间，那么我们得到 一个不同的部分特征值分解，其中 \hat{\Lambda}_A 和 \hat{\Lambda}_B 被不同的 k \times k 矩阵 {\check{\Lambda}_A} 和 {\check{\Lambda}_B} 替换，使得矩阵束 {\check{\Lambda}_A} - \lambda {\check{\Lambda}_B} 的特征值 与 \hat{\Lambda}_A - \lambda \hat{\Lambda}_B 的特征值相同，尽管 矩阵束 {\check{\Lambda}_A} - \lambda {\check{\Lambda}_B} 可能不是对角的。